지수 법칙의 응용 문제를 풀어보자 - 거듭제곱의 나눗셈, 곱셈

고등학교 수학 I의 첫 단원에 보통 지수 함수와 로그함수가 나옵니다. 이러한 이유 때문인지는 모르겠지만, 수능 수학 문제는 첫 번째 문제에 항상 지수 문제가 나옵니다.

 

다른 문제에 비해서 비교적 난도가 낮다고 판단되는지 1번의 배점은 항상 2점을 유지하는 듯합니다. 중학교 때 배운 가장 기본적인 정수 범위에서 지수의 곱셈, 나눗셈 기본적인 개념을 이해하고 있으면, 실수로 확장한다는 차이점만 알면 아무리 복잡하게 나와도 1번 문제는 모두 맞을 수 있지 않을까 합니다.

 

같은 문제는 아니지만, 지수 법칙을 이용해서 해결하는 다음 문제를 풀 수 있으면 약간의 도움이 되지 않을까 하여 문제를 하나 만들고 해결해 보도록 하겠습니다.

 

위 문제를 해결하는 방법은 여러 가지가 있겠지만, 2가지 방법으로 해결해 보도록 하겠습니다.

 

주어진 조건을 보면 3의 2x 제곱의 값이 주어졌으므로 구하고자 하는 주어진 식을 3의 2x 제곱이 되도록 바꿀 수 있는지를 먼저 살펴보도록 합니다. 주어진 식의 분자와 분모에 3의 x 제곱을 곱하여 전개를 하면, 3의 2x 제곱이 나올 수 있을 듯합니다. 

 

일단 위까지 계산했으면, 이제 지수의 곱셈의 정리를 이용해서 다음과 같이 정리할 수 있습니다. 

 

여기까지 풀고 보니, 이제 3의 2x 제곱이 나오는 듯합니다.

 

분자에 있는 3의 -2x 제곱은 분수로 나타내면 3의 2x의 제곱 분의 1이 되고, 3의 0 제곱은 1이 되므로 위 식은 다음과 같이 더 쓸 수 있습니다,

 

이제 다 구했습니다. 3의 2x의 제곱이 4라고 했으므로 이것을 대입해서 풀면 되겠습니다.

 

위와 같은 유형의 문제는 위와 같은 방식으로 대부분 해결할 수 있을 듯합니다. 하지만 위 문제는 3의 2x  제곱의 값이 주어졌으므로 다음과 같이 해결해도 됩니다. 지수 법칙에 따라 주어진 값은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

 

3의 x 제곱은 양수가 되어야 하므로 이 3x는 2가 된다고 할 수 있겠습니다.

 

이렇게 놓고 구하고자 하는 식을 3의 x 제곱이 나오도록 정리하면 다음과 같이 풀 수 있습니다.

 

이제 3의 x 제곱이 2이므로 이 값을 대입해서 계산하면 되겠네요.

 

오늘 글을 마칩니다.