2023 수능 수학 22번 풀이 해설 - 평균값의 정리, 롤의 정리

2022년 11월 17일에 실시된 수능 수학 22번 문제를 풀어 보도록 하겠습니다.

 

이전 수능에서는 평균값의 정리와 롤의 정리를 이용해서 해결하는 수학 22번이 나오지 않았는데, 올해 수능에서는 모든 수학 II 교과서에서 꽤 높은 비중으로 다루고 있는 "평균값의 정리"와 "롤의 정리"가 출제되었네요.

 

2015 개정 수학 II 교육과정 문서를 보면, "미분" 항목의 "교수, 학습 방법 및 유의 사항" 2 번째 항목에 "롤의 정리, 평균값 정리는 함수의 그래프를 이용하여 그 의미를 이해하게 할 수 있다"라는 언급이 있습니다. 교육과정 문서가 "교과서"를 개발하는 지침서이므로 이 내용이 있다는 것은 교과서에 꼭 설명하라는 의미입니다. 따라서, 두 정리가 모든 수학 교과서에 나올 수밖에 없는 것이지요.

 

이번 수능 수학 22번에 제시된 (가) 조건을 먼저 살펴보도록 하겠습니다.

 

 

위 조건이 무슨 의미인지를 먼저 해석을 해야겠습니다. 조건의 식을 보면, x와 1이 공통으로 보이므로 이 식을 다음과 같이 써 보도록 하겠습니다. 이 문제를 해결하는 첫 번째 조건은 우변에 있는 f(1)을 좌변으로 이항 하는 것입니다.

 

 

위 식에서 x=1이면 좌변항과 우변항이 0이 됩니다. 조건이 아무것도 남지 않게 되는 것이지요. 그래서 x가 1이 아닐 때를 생각해 주는데, x가 1이 아니면 두 항을 이것으로 나누면 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

 

 

이렇게 정리하고 보니, 이것은 바로  "평균값의 정리"와 같은 형식이 되었습니다. "평균값의 정리"는 다음과 같은데, 한 번 비교해 보세요.

 

 

이 평균값의 정리에서 a와 b가 같으면, 즉 기울기가 0이면 f'(c) = 0이 된다는 것이 "롤의 정리"입니다.

 

평균값의 정리는 두 점 (a, f(a)), (b, f(b))의 기울기 (=좌변)와 f'(c) 값이 같다는 말이며, c에서의 접선이 두 점 사이의 기울기와 같다는 말이 됩니다.

 

 

만약에 (a, f(a)), (b, f(b))의 기울기가 위 그래프보다 크거나 작아진다면, c를 지나는 접선의 기울기도 변하게 될 것입니다.

 

 

주어진 문제의 정리 식에서 a = 1, b=x, c = g(x)를 대치하면, g(x)는 접선의 x좌표가 되는 것과 같으며, 그래프를 그리면 다음과 같습니다.

 

 

설명을 돕기 위해서 처음에 주어진 두 점을 아래와 같이 A, B라고 해 보겠습니다.

 

 

점 A와 점 B를 지나는 직선의 기울기가 삼차함수 위에서 B가 움직이면 기울기가 작아지다가 삼차함수와 접한 이후에는 다시 기울기가 커집니다.

 

 

g(x)의 최솟값이 5/2라는 조건 (나)에 의해서 g(x)는 5/2라는 것을 알 수 있습니다.

 

 

조건 (가)의 평균값 정리에 의해서 지금까지 위의 내용이 된다는 것을 알아보았습니다.

 

이제 위에서 맨 처음 정리한 식을 다시 가져옵니다.

 

 

문제 발문에서 실수 전체에서 g(x)가 연속이므로 x=1에서 극한값을 구하면 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

 

 

위 식에서 g(1) = 1이 될 수가 없습니다. 왜냐하면, g(x)의 최솟값이 5/2라고 했으므로 성립하지 않는 것입니다. g(1)의 값은 삼차함수 변곡점을 중심으로 대칭이 되어야 합니다. d의 값은 삼차함수 비율 관계를 통해서 구할 수 있습니다.

 

 

변곡점, 점 (1, f(1)), 점 (5/2, f(5/2))는 삼차함수 비율 관계 2 : 1이므로 변곡점의 x좌표는 2, d = 3이 되고 정리하면 다음과 같습니다. 즉 g(1) = 3이 되고 f(3)은 6이 되겠습니다.

 

 

3차함수, 두 점 사이의 직선, 그때의  x 값만 정리해서 쓰면 다음과 같습니다. 

 

 

위 그래프는 녹색의 직선은 기울기를 m이라고 두면, 점 D(3, 6)을 지나므로 이 일차함수는 l(x) = m(x - 3) + 6이라고 쓸 수 있습니다. 삼차함수와 녹색 직선이 만나는 점이 1, 2, 3이므로 이를 정리해서 쓰면 다음과 같습니다.

 

 

 

이제 한 가지 조건을 사용하지 않았습니다. f(0) = -3이므로 x 대신에 0을 대입해서 그 값이 -3이라고 두면 m의 값을 구할 수 있습니다. m은 1이므로 최종 식은 다음과 같이 쓸 수 있겠습니다.

 

 

m이 구해졌으면, 최종적으로 구하는  값은 f(4)이므로 위 식에서 x 대신에 4를 대입하면 됩니다.