'수학 이야기' 카테고리의 글 목록

숫자 2520의 의미

이게 뭐냐고? 바로 너를 위한 수야. 1은 모든 자연수의 약수이므로 2520은 1로 나누어지는 수야. 또, 2520은 짝수이므로 2로도 나눌 수 있어. 2520 각 자릿수를 모두 더하면 2+5+2+0=9이고, 9는 3의 배수이므로 2520은 3으로 나눌 수 있어. 2520 ÷3= 840 짝수이면서 일의 자릿수가 0, 4, 8이면, 4로 나눌 수 있어. 보통은 끝 두 자리수가 4의 배수면 4로 나눌 수 있지. 2520 ÷4= 630 0이나 5로 끝나면 5로 나눌 수 있어. 2520 ÷5= 504 짝수이면서 3의 배수이면 6으로 나눌 수 있어. 2520은 그래서 6의 배수야. 2520 ÷6= 420 일의 자리를 2배 하고 0x2=0 나머지 수에서 빼서 7로 나누어지면 7의 배수야. 252-0=252 252가..

수학 이야기 2023. 12. 18. 21:01

논란의 2024학년도 수능 수학 22번 풀이를 다시 하면서 드는 생각

한국교육과정평가원에서 발표한 2024학년도 대학 수학 능력 시험 보도 자료를 보았다. 교육부의 올해 방침은 소위 말하는 킬러 문항 배제였다. 이러한 방침이 제대로 반영되었는지 살펴보는 것은 일반적으로 수학 22번 문항이 그 준거가 될 수 있다. 이 문제는 풀이를 쓰기 싫을 정도로 설명할 게 많았다. 하지만, 많이 많이 건너뛰어서 다음과 같이 해결했다. 2024수능수학22번풀이 2024 수능 수학 22번 해설2024 수는 수학 22번 해설, 풀이 - 2023년 11월 16일 실시www.noustem.com 킬러문항 배제 방침이 이슈가 된 후, 실시된 9월 모의고사 22번은 대체적으로 그러한 방침 이 무난하게 적용되어 논란을 비켜나간 듯하다. 혹자는 수학 만점자가 많았다고 하였지만 말이다. 이번 수학 출제자..

수학 이야기 2023. 11. 17. 04:10

수능 킬러 문항 뜻, 의미에 관하여...

2019년 11월에 실시된 수능부터였던 것 같습니다. 소위 말하는 수능 수학 킬러 문항이라고 하는 문제에 관해서 짧은 지식이지만 해설 글을 쓰기 시작했던 때가요. 고등학교를 졸업한 지 몇십 년이 지났고, 흔히 말하는 문송이라서 대입 입시 후에는 제가 수학 관련 글을 쓸 이유는 전혀 없을 것이라고 생각했지만, 그해 블로그를 처음 시작하고 나서 우연히 발견한 나형 30번 문항에 호기심이 생겨서 한 번 써 보았는데, 쓰고 난 후, 많은 것이 보여서 지금까지 수능과 교육청 모의고사 22번, 평가원 22번 문항에 관해서 글을 써 왔습니다. 몇 개의 관련 글에서는 "이게 교육과정에서 나온 게 맞아?"라고 물으면서 심한 혼자 말도 내뱉곤 했지만, 그게 다가 아니라는 어느 순간부터 들더군요. 아무리 혼자 떠들고 말해 ..

수학 이야기 2023. 6. 24. 14:45

챗gpt로 바이오리듬 html, 코딩을 해 보다

바이오리듬은 삼각함수 sin 함수의 주기성을 이용합니다. 태어난 연도, 달, 일을 신체 지수는 23일, 감성 지수는 28일, 지성 지수는 33일을 주기로 sin 그래프를 그리면 그래프를 그릴 수 있습니다. 챗gpt를 이용해서 웹에서 쉽게 살펴보기 위해 몇 번의 시도 끝에 다음과 같은 html 문서 파일을 얻을 수 있 수 있었습니다. 위 파일은 다운로드한 후, 다른 이름 대상으로 저장하면서, 확장자명을 html로 저장한 후, 클릭하면 볼 수 있습니다. 바꾼 html 파일을 열 때, 컴퓨터에서는 깨짐이 발생하지 않지만, html 뷰어가 설정되지 않은 스마트폰에서는 텍스트가 깨질 수 있습니다. 스마트폰에서 html 뷰어 보기, 설정 등을 검색 사이트에서 찾아 설정을 바꾸면 깨짐 없이 볼 수 있으며, 깨지더라도..

수학 이야기 2023. 6. 11. 11:04

캐논 변주곡 조지 윈스턴 별이 되다

서양 고전 음악에서 캐논(카논: Canon)이라 불리는 대위법이 적용된 서양의 고전 음악 악곡의 한 형식이 있습니다. '법칙', '규칙'을 뜻하는 그리스어에서 유래했다고 하죠. 이 캐논은 하나의 멜로디 파트가 하나의 주제로 시작한 뒤, 다른 멜로디 파트에서 그 주제와 똑같이 모방하면서 화성 진행을 맞추어 나가는 대위적인 악곡의 형식을 말합니다. 보통 자주 듣는 캐논 연주곡에는 요한 파헬벨의 캐논 라장조가 있는데, 바이올린 선율이 너무나도 아름답게 들려 자주 듣는 음악 중의 하나입니다. 아이들이 피아노 학원을 다닐 때, 배우고 연습해서 저를 위해 연주해 주던 피아노 연주곡 중에는 "캐논 변주곡"도 있습니다. 미국 음악가인 조지 윈스턴이 다시 편곡한 "캐논 변주곡"은 파헬벨의 "캐논(카논)"을 피아노 솔로곡..

수학 이야기 2023. 6. 9. 21:57

고3 2024 6월 수학 모의고사 22번 해설 - 함수의 증가와 감소

2023년 6월 1일에 실시된 고등학교 3학년 6월 모의고사[모의평가] 수학 22번 문제를 풀어보도록 하겠습니다. 해당 문제는 한국교육과정평가원 홈페이지에서 확인할 수 있습니다. (이의 신청 종료 이후) 한국교육과정 평가원 > 자료 마당 > 기출문제 한국교육과정평가원 대학수학능력시험 홈페이지 www.suneung.re.kr a는 0이 아닌 정수에 관해서 다음과 같은 함수가 제시되어 있습니다. 지금까지 나왔던 22번 문제와 다르게 f(x) 값이 간단하게 나왔습니다. a만 알면 되니까요. 이 함수의 그래프는 a>0, a 0인 경우 2. a 0이면 k는 12 또는, 2와 6 또는, 3과 4가 될 수 있습니다. k가 12일 때, 위 부등식은 다음과 같이 계산할 수 있습니다. 그런데, a = 10이면 4a/3에서..

수학 이야기 2023. 6. 2. 17:33

n축 합성함수 그래프 그리기, n축 스킬

다음과 같은 f(x)와 g(x)의 그래프가 있습니다. 이 두 함수의 합성함수인 (f ∘ g)(x)의 그래프를 그리려면 어떻게 해야 할까요? 고등학교 1학년 수준에서 보통적인 해결방법은 f(x)의 함수와 gIx)의 함수식을 그래프에 맞는 구한 다음 합성시키면 됩니다. 하지만 이러한 방법은 시간이 꽤 걸릴 수 있습니다. f(x)가 범위에 따라서 함수 식이 두 개 나오고 g(x)도 마찬가지죠. 하지만, 교과서에 나온 합성함수의 정의를 조금 응용하면 각각의 함수 식을 구하지 않아도 그래프를 좀 더 효율적으로 그릴 수 있습니다. 이 방법은 다양한 방식으로 불리지만, 가장 흔하게 알려져 있는 것이 "어둠의 n축 스킬", 합성함수 그리기입니다. 이러한 이름을 가지게 된 유래는 중요하지 않을 듯합니다. 시간이 허락된다..

수학 이야기 2023. 4. 17. 22:24

원주율 구하기, 3.14 구하는 방법, 파이 구하는 공식에 대해 알아보자

원주율(파이: π)은 원의 지름에 대한 원둘레의 비율을 말하며, 보통 3.14...정도로 알려져 있습니다. 어떤 원이든지 원의 둘레의 길이는 원 지름 길이의 약 3.14배가 된다는 말이죠. 이 3.14...를 구하는 방법은 여러 가지가 있지만, 이 글에서는 고등학교 때 배우는 "이항정리", "적분"의 개념과 그 이전에 배웠을 원의 넓이 구하는 방법을 통해서 알아보고자 합니다. 먼저, 이항정리는 다음과 같이 정리됩니다. 위 이항정리에서 a=1, b=x를 대입하면 다음과 같이 정리할 수 있습니다. 위 식을 전개하면 다음과 같습니다. 위 식에서 C의 값을 숫자와 n으로 계산해서 정리하면 아래와 같습니다. 이제 n을 1/2이라고 가정해 보겠습니다. 왜 그 많은 수 중에서 2 분의 1인가는 원의 방정식 때문입니다..

수학 이야기 2023. 4. 2. 19:57

2023 3월 모의고사 수학 22번 풀이

수학은 1등급인데, 영어는 9등급인 친구가 있었어요. 영어는 1등급인데, 수학은 9등급인 친구가 있었어요. 지금까지 살아보니, 수학과 영어는 결국 다른 이름의 언어라는 것을 조금은 깨달았았어요. 2023년 3월 수능 모의고사 수학 22번을 풀어 보도록 하겠습니다. 풀이 과정을 글로 쓰면 다음과 같습니다. 조건 1. f(x)는 최고차항의 계수가 1인 사차함수 4차함수가 수능 22번으로 예외는 있겠지만, 출제된다면 다음 3가지 그래프일 확률이 높기 때문에 그래프를 3개 그려 놓고 생각합니다. 이 중에서 첫 번째 그래프로 시작합니다. 조건 2. g(x) = |f(x) -t| 위 조건은 f(x)를 y 축으로 t만큼 평행 이동한 것을 절댓값으로 표현한 말과 같습니다. 절댓값의 다른 말은 t 아랫부분을 꺾어서 위로..

수학 이야기 2023. 3. 24. 01:54

sin 72도 는 어떻게 계산할 수 있을까? 삼각함수의 신비를 풀어보자 ft. 옥스퍼드 대학 수학 기출

2022년 옥스퍼드 입학 수학 면접시험에 sin 72도를 구하는 문제가 나와서 그 풀이 방법을 설명해 보고자 합니다. 객관식 문제이기는 하지만, 풀이 과정을 간략하게 시험지에 쓰는 것을 요구하고 있어서, 찍어서 답을 맞혔다고 하더라도 점수를 모두 주지는 않은 것 같은 생각이 들었습니다. 영어로 제시된 문제를 우리말로 바꾸면 대강 다음과 같은 문제입니다. 사실, 일반적인 30도, 60도, 45도 등의 삼각비는 직각 삼각형과 피타고라스 정리를 이용해서 구할 수 있지만, 72도와 같은 삼각비를 구하기 위해서는 몇 가지 다른 방법이 필요합니다. 위의 옥스퍼드 문제는 식을 하나 주고 sin 72도 값을 구하라고 나왔네요. 이러한 식은 여러 가지 절차를 거쳐서 나오겠지만, 여기서는 결과만 주고, 이것을 이용해서 s..

수학 이야기 2023. 3. 5. 11:04

특수 문자 수학 기호를 정리하다

수학 기호를 찾을 때마다 키보드로 작성하는 것이 심란하여 마우스로 긁은 후, 복사하여 사용하기 위해서 수학에서 자주 쓰이는 특수 문자를 정리해 봤습니다. ■ 기본 수학 문자 ≠ ± ∓ ÷ × ∙ – √ ‰ ⊗ ⊕ ⊖ ⊘ ⊙ ≤ ≥ ≦ ≧ ≨ ≩ ≺ ≻ ≼ ≽ ⊏ ⊐ ⊑ ⊒ ² ³ ° ■ 기하 기호 ∠ ∟ ° ≅ ~ ‖ ⟂ ⫛ ■ 대수 기호 ≡ ≜ ≈ ∝ ∞ ≪ ≫ ⌊⌋ ⌈⌉ ∘∏ ∐ ∑ ⋀ ⋁ ⋂ ⋃ ⨀ ⨁ ⨂ 𝖕 𝖖 𝖗 ■ 집합 기호 ∅ ∖ ∁ ↦ ↣ ∩ ∪ ⊆ ⊂ ⊄ ⊊ ⊇ ⊃ ⊅ ⊋ ⊖ ∈ ∉ ∋ ∌ ℕ ℤ ℚ ℝ ℂ ℵ ℶ ℷ ℸ 𝓟 ■ 논리 기호 ¬ ∨ ∧ ⊕ → ← ⇒ ⇐ ↔ ⇔ ∀ ∃ ∄ ∴ ∵ ⊤ ⊥ ⊢ ⊨ ⫤ ⊣ ■ 미적분 기호 ∫ ∬ ∭ ∮ ∯ ∰ ∇ ∆ δ ∂ ℱ ℒ ℓ ■ 그리스 문..

수학 이야기 2023. 1. 28. 19:17

지수함수 그래프 관련 문제를 풀어보자

이번 시간에는 지수함수와 관련된 문제를 풀어 보도록 하겠습니다. 다음과 같은 지수함수 관련 문제가 있다고 가정해 보겠습니다. 이 문제를 해결하기 위해서 먼저, 지수함수가 무엇인지에 관해서 살펴보도록 하겠습니다. 지수함수는 실수 지수의 정의에 따라, a>0인 경우만 생각해야 합니다. 또한, a=1이면 y=1로 상수항이 되므로 a≠1이라는 조건이 붙으며, 이때 모든 실수 x에 대하여 a의 x 제곱은 0보다 크게 됩니다. a가 1보다 큰 수의 그래프와 a가 1보다 작은 수의 그래프는 y 축에 대칭인 함수가 됩니다. 위의 그래프처럼 밑이 1보다 크면 빨간색 선처럼 x값이 커짐에 따라 y 값도 증가하는 모습이 되고, a가 1보다 작으면 파란색 선처럼 x 값이 커짐에 따라 y값은 감소하는 모습이 됩니다. 또한, 지..

수학 이야기 2023. 1. 4. 21:40

지수 법칙의 응용 문제를 풀어보자 - 거듭제곱의 나눗셈, 곱셈

고등학교 수학 I의 첫 단원에 보통 지수 함수와 로그함수가 나옵니다. 이러한 이유 때문인지는 모르겠지만, 수능 수학 문제는 첫 번째 문제에 항상 지수 문제가 나옵니다. 다른 문제에 비해서 비교적 난도가 낮다고 판단되는지 1번의 배점은 항상 2점을 유지하는 듯합니다. 중학교 때 배운 가장 기본적인 정수 범위에서 지수의 곱셈, 나눗셈 기본적인 개념을 이해하고 있으면, 실수로 확장한다는 차이점만 알면 아무리 복잡하게 나와도 1번 문제는 모두 맞을 수 있지 않을까 합니다. 같은 문제는 아니지만, 지수 법칙을 이용해서 해결하는 다음 문제를 풀 수 있으면 약간의 도움이 되지 않을까 하여 문제를 하나 만들고 해결해 보도록 하겠습니다. 위 문제를 해결하는 방법은 여러 가지가 있겠지만, 2가지 방법으로 해결해 보도록 하..

수학 이야기 2022. 12. 27. 20:56

2023 수능 수학 22번 풀이 해설 - 평균값의 정리, 롤의 정리

2022년 11월 17일에 실시된 수능 수학 22번 문제를 풀어 보도록 하겠습니다. 이전 수능에서는 평균값의 정리와 롤의 정리를 이용해서 해결하는 수학 22번이 나오지 않았는데, 올해 수능에서는 모든 수학 II 교과서에서 꽤 높은 비중으로 다루고 있는 "평균값의 정리"와 "롤의 정리"가 출제되었네요. 2015 개정 수학 II 교육과정 문서를 보면, "미분" 항목의 "교수, 학습 방법 및 유의 사항" 2 번째 항목에 "롤의 정리, 평균값 정리는 함수의 그래프를 이용하여 그 의미를 이해하게 할 수 있다"라는 언급이 있습니다. 교육과정 문서가 "교과서"를 개발하는 지침서이므로 이 내용이 있다는 것은 교과서에 꼭 설명하라는 의미입니다. 따라서, 두 정리가 모든 수학 교과서에 나올 수밖에 없는 것이지요. 이번 수..

수학 이야기 2022. 11. 18. 21:54

수학 그래프 그리는 프로그램 알지오매스, 수학에 시각을 더하다

우리나라 "과학기술기본법"에 따라 설립된 한국과학창의재단이 있습니다. 이 재단에서는 대수부터 기하까지 모든 수학을 다루는 소프트웨어인 "알지오매스"를 교육부, 시도교육청과 함께 개발했습니다. 이 프로그램은 무료로 사용할 수 있는 수학 탐구용 소프트웨어로 홈페이지를 통해서 이용할 수 있습니다. https://www.algeomath.kr Algeomath 안녕하세요, Algeomath 입니다. www.algeomath.kr 수학 관련 글을 쓸 때 이용하는 사이트의 하나로 Desmos(데스모스)와 함께 자주 사용하고 있습니다. 이러한 프로그램을 무료로 사용할 수 있다는 것이 그래프나 그림을 그리는 데 소질이 없는 저 같은 사람에게는 매우 고마운 일입니다. 이 사이트를 통해 수학과 관련된 여러 가지 함수 그래..

수학 이야기 2022. 11. 11. 21:38

그럼 사차함수 비율 관계는? 4차함수 극대 극소 차이는?

사차함수 비율 관계에 관해서 알아보도록 하겠습니다. 수능이 얼마 남아 있지 않은 수험생을 위해 이유에 관해서는 이번 글에서는 생략하고 결과만을 제시해 봅니다. 먼저, 다음과 같은 4차함수가 있다고 가정해 보겠습니다. 사차함수가 다음과 같이 x=γ에서 극댓값을 가지고, x=α, x=β에서 극소점을 가지고 두 극솟값이 같을 때입니다. 그래프가 위와 같다면 이 사차함수는 다음과 같이 쓸 수 있습니다. 만약에 이 함수에서 극댓값과 접하는 접선을 그었을 때, 접선, 극솟값의 β 또는 α, 사차함수가 만나는 점의 비율 관계는 다음과 같습니다. 만약에 원점에서 극댓값을 가지고, x축과 만나는 점이 k, -k라면 그래프는 다음과 같이 쓸 수 있습니다. 두 번째로 다음과 같은 사차함수 그래프가 있다고 가정해 보겠습니다...

수학 이야기 2022. 11. 9. 23:16

설명하기 정말 어려운 1 나누기 4 나머지, 몫 구하기

초등학교 수학 교과서에 "자연수 나누기 자연수"의 몫과 나머지를 구하는 단원이 있습니다. 만약에 사과 1개를 4 사람에게 똑같이 나누어 준다고 하면, 한 사람에게 돌아가는 사과의 몫은 얼마인지를 설명하고 있습니다. 즉, 몫은 4분의 1이 되는 것이죠. 모두 나누어 주었으니 나머지는 0이 된다고 할 수 있습니다. 초등학교 교과서에서는 보통, "1 나누기 4의 몫을 분수로 나타내면 4분의 1(1/4)이다"라고 설명하고 있습니다. 초등학교 수준에서 자연수 나누기 자연수의 몫을 설명하기 위해서 "몫"의 개념을 저는 너무나 오랫동안 잊고 있었네요. 고등학교 수학 수준에서 1 나누기 4를 한다면 몫과 나머지는 조건이 붙는데, 보통은 그 개념을 잊고 있는 듯합니다. 일반적으로 어떤 수 a를 b로 나누었을 때, 몫을 ..

수학 이야기 2022. 10. 25. 22:56

나머지를 이용한 요일 계산법, 계산기, 공식

제가 블로그를 시작한 해의 10월 이맘때쯤, 손가락으로 요일을 계산하는 내용의 글을 쓴 적이 있습니다. https://nous-temperature.tistory.com/123 오늘은 무슨 요일입니까 - 달력 없이 요일 알기, 영어 요일 유래, 마더구스 뜻 (Mother Goose)달력 없이 손가락을 가지고 요일을 아는 방법을 알려드리겠습니다. 이 방법으로 알 수 있는 이유는 달력 속에 수학의 원리가 숨어 있기 때문인데요. 그 이유까지 설명하자면 수학의 여러 개념을nous-temperature.tistory.com 위 글에서 단점은 바로 해당하는 연도의 하루는 요일을 알아야 한다는 것입니다. 바로 연도에 해당하는 숫자를 알아야 하는데, 그 숫자의 규칙성을 찾는 게 쉽지 않아서 아주 먼 연도의 요일이나 아..

수학 이야기 2022. 10. 15. 11:01

부채꼴 넓이 공식 에 대해 알아보자

고등학교 수학I 과목에 삼각함수 단원이 있습니다. 이 단원에서 삼각함수의 다양한 개념을 알기 전에 호도법에 대해서 나옵니다. 중학교 때 배운 각의 30도, 45도, 60도의 개념을 확장하여 90도 이상의 sin, cos, tan를 알기 위해서 호도법의 정의가 나오는 것이지요. 즉, 각의 크기를 "도"가 아닌 새로운 단위인 "라디안(radian)"이 나오는데, 1 라디안은 원주율인 𝝅(파이)를 180°로 나눈 것으로 나타냅니다. 이렇게 각의 크기를 라디안으로 나타낸 것을 호도법이라고 합니다. 이를 통해서 1°는 𝝅/180 라디안이 된다는 것을 알 수 있으며, 보통 라디안은 생략합니다. 이제 초등학교 6학년 때 배운 원의 넓이 구하는 공식을 가져와 보겠습니다. 초등학교 수준에서 원의 넓이는 반지름의 제곱 곱..

수학 이야기 2022. 9. 26. 23:03

쌓기나무 개수 구하기

초등학교 6학년 수학에 쌓기나무 개수 구하는 단원이 있습니다. 어렵게 풀었다면 아이가 문제를 가져와서 풀어보라고 하네요. 제가 초등학교 다닐 때는 배우지 않았던 단원인 것 같은데 그래서 처음에 문제를 해결하는 데 조금 멈칫했습니다. 2007년 서울 교대 기출문제였는데, 설명을 쓰기 위해 문제를 약간 더 쉽게 변경해서 제시해 봅니다. 위와 같은 문제에서 쌓기나무 개수를 구할 때는 "위"에서 본 모양의 네모 안에 각각의 쌓기나무 개수를 모두 구해서 써 놓은 다음에 그 개수를 모두 더해서 구하면 됩니다. 앞에서 본 모양은 위에서 본 모양과 동일한데, 모양이 다르더라도 위에서 본 모양과 구별하는 것은 비교적 이해하기 쉬워 보입니다. 위에서 본 모양과 앞에서 본 모양을 비교하면, 앞에서 본 모양은 1층에 4개, ..

수학 이야기 2022. 9. 21. 00:10

상식체온

수학 이야기 → (99)건