sin 72도 는 어떻게 계산할 수 있을까? 삼각함수의 신비를 풀어보자 ft. 옥스퍼드 대학 수학 기출

2022년 옥스퍼드 입학 수학 면접시험에 sin 72도를 구하는 문제가 나와서 그 풀이 방법을 설명해 보고자 합니다. 객관식 문제이기는 하지만, 풀이 과정을 간략하게 시험지에 쓰는 것을 요구하고 있어서, 찍어서 답을 맞혔다고 하더라도 점수를 모두 주지는 않은 것 같은 생각이 들었습니다. 영어로 제시된 문제를 우리말로 바꾸면 대강 다음과 같은 문제입니다.

 

 

사실, 일반적인 30도, 60도, 45도 등의 삼각비는 직각 삼각형과 피타고라스 정리를 이용해서 구할 수 있지만, 72도와 같은 삼각비를 구하기 위해서는 몇 가지 다른 방법이 필요합니다. 

 

위의 옥스퍼드 문제는 식을 하나 주고 sin 72도 값을 구하라고 나왔네요. 이러한 식은 여러 가지 절차를 거쳐서 나오겠지만, 여기서는 결과만 주고, 이것을 이용해서 sin 72도 값을 구하라고 하였네요.

 

이 문제를 해결하기 위해서는 그대로 호도법과 삼각비의 개념을 알고 있어야겠네요. 주어진 식에서 5𝜃는 𝜃가 72도라면, 360도가 된다는 것을 먼저 유추해야 할 듯합니다. 왜냐면, sin360도는 0이기 때문이죠. 따라서, 위 식은 𝜃 = 72도라고 한다면, 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

 

 

이 결과를 보면,  sin72도의 5차, 3차, 1차로 이루어진 방정식이 되었습니다. 이 방정식을 조금은 익숙한 내림차순으로 정리하면 다음과 같습니다.

 

 

sin 72도는 1 사분면의 각도로 양수이므로 위 식은 sin 72도 양변을 나누어 정리하면 4차식, 2차식, 상수로 쓸 수 있습니다.

 

 

sin 72도의 제곱에 대해서는 2차식이라고 할 수 있으므로 sin 72도의 제곱을 a 등으로 치환하여 2차식을 만든 후, 근의 공식을 써서 구하면 됩니다. 비교적 간단한 방정식이라서 저는 치환하지 않고 바로 계산해 보겠습니다.

 

 

위의 식에서  sin 72도 값은 양수와 음수가 될 수 있는데, 앞에서 언급한 것처럼 sin 72도는 양수이므로  다음과 같이 쓸 수 있습니다.

 

 

이렇게 계산하고 보니, 근호 속에 도 플러스, 마이너스가 있어서 값이 2개이므로 어떤 것인지를 판단을 해야 합니다. 

 

 

원점이 중심이고 반지름이 1인 단위원을 그리면, 72도의 위치는 위의 그림과 같으며, sin 72도는 호에서 y 좌표 값이므로 1보다 약간 작다라는 것을 알 수 있습니다. 따라서, sin 72도는 다음과 같이 정리할 수 있습니다.

 

 

https://youtu.be/FbmSIhzfxXI

 

오늘 글을 마칩니다.