고3 2024 6월 수학 모의고사 22번 해설 - 함수의 증가와 감소

2023년 6월 1일에 실시된 고등학교 3학년 6월 모의고사[모의평가] 수학 22번 문제를 풀어보도록 하겠습니다. 해당 문제는 한국교육과정평가원 홈페이지에서 확인할 수 있습니다. (이의 신청 종료 이후)

 

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한국교육과정평가원 대학수학능력시험 홈페이지

 

a는 0이 아닌 정수에 관해서 다음과 같은 함수가 제시되어 있습니다.

 

 

지금까지 나왔던 22번 문제와 다르게 f(x) 값이 간단하게 나왔습니다. a만 알면 되니까요. 이 함수의 그래프는 a>0, a <0에 따라 다음 2가지 형태로 그릴 수 있습니다.

 

1. a>0인 경우

 

2. a <0인 경우

 

두 경우에서 극값은 3차 함수의 비율 관계에 의해서  2a의 2/3인 값이므로 0이 아닌 극값의 x 좌표는 4a/3이 됩니다.  그동안 하도 교육과정에도 없는 3차 함수 비율관계를 알아야 시간을 절약하며 계산이 되는 문제가 많이 나와서 비판받았는데, 이 문제에서는 굳이 이것을 쓰지 않아도 됩니다. 왜냐하면 3차 함수가 x의 계수가 3 제곱과 2 제곱만 나왔기 때문에 이를 한 번만 미분하면 바로 나머지 극값의 x 좌표를 알 수 있습니다. 물론 이렇게 해도극값의 x 좌표는 4a/3이 나옵니다.

 

 

극값을 모두 그래프에 적으면 다음과 같습니다.

 

 

다음으로 주어진 조건을 보도록 하겠습니다.

 

복잡해 보이는 위 조건에서 상단에 있는 내용은 x1, x2의 기울기와 x2와 3의 기울기 값이 0보다 작다는 의미입니다. 따라서 각각의 기울기의 부호는 양수(+)가 되어야 하고, 나머지는 음수(-)가 되어야 합니다. 그런데 열린 구간 k와 k+3/2에서 3 점이 존재해야 하므로, k와 k+3/2의 열린 구간에서 극값이 존재해야 한다는 말이 됩니다. 이를 그래프로 나타내면 다음과 같습니다.

 

 

왜 이렇게 되는지 이해가 안 되면, 책장 구석에 있을지도 모를 수학 II 교과서를 펴서, 평균값 정리, 함수의 증가와 감소, 함수의 극대와 극소 단원을 다시 한번 살펴보시기 바랍니다. 조건에서 위와 같은 그래프가 그려지지 않았다면, 교과서의 개념 정리를 이해하고 익히는 것이 응용문제를 해결할 수 있는 힘이 생길 것이라 생각합니다.

 

위 그래프에서 k와 k+3/2의 값의 범위를 나타내면 다음과 같습니다.

 

이렇게 정리해 놓고 보니, a 값에 따라서 k값이 달라지는 부등식이 되었으며 그 부등식도 같은 식이 되었습니다.

 

 

 첫 번째 부등식을 풀면 k = -1이 됩니다.

 

 

두 번째 부등식을 a에 대해서 나타내면 다음과 같습니다.

 

문제의 조건에서 정수 k값의 곱이 -12라고 했으므로 k=-1이 구해졌으므로 a>0이면 k는 12 또는, 2와 6 또는, 3과 4가 될 수 있습니다. 

 

k가 12일 때, 위 부등식은 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

 

 

그런데, a = 10이면 4a/3에서 극솟값은 40/3이 되고, 이때 극솟값은 k와  k+3/2 사이에 와야 하는데, k=12를 대입하면, 12와 12+3/2 사이에는 k=13이 존재하므로 조건을 만족하지 않게 됩니다.

 

이런 식으로 k가 2와 6일 때를 계산하면 다음과 같습니다.

 

k가 6과 2일 때는  동시에 만족하는 a값이 존재하지 않기 때문에 모순이 되며, 같은 방식으로 k가  3과 4이어도 마찬가지 결과가 나옵니다. k의 열린 구간의 간격이 3/2, 즉 1.5이고, 2와 6은 간격이 4차이므로 바로 3과 4로 계산하면 시간을 절약할 수 있겠네요.

 

따라서, a>0이 범위에서는 a 값이 존재하지 않기 때문에 a <0인 범위를 계산해 주어야 합니다.

 

 a <0이면 k는 -12와 -1,  -2와 -6, -3과 -4가 될 수 있습니다. 

 

각각의 값 중에서, k가 -3과 -4일 때를 계산해 보겠습니다. -12와 -1, -6과 -2의 간격은 열린 구간 k, k+3/2의 간격인 1.5를 벗어나기 때문에 하지 않아도 됩니다.

 

 

k가 -3, -4일 때는 a는 -2 값이 존재합니다. 따라서 a는 -2가 됩니다. 같은 방식으로 계산하면, k가 -12와 -1,  -2와 -6일 때는 a값을 정할 수 없으므로, 구하고자 하는 a는  -2 값이 되며, f(x)와 f'(x)는 다음과 같이 되어, 구하고자 하는 f'(10)의 값을 구할 수 있겠습니다.

 

 

오늘 글을 마칩니다.