n축 합성함수 그래프 그리기, n축 스킬

다음과 같은 f(x)와 g(x)의 그래프가 있습니다.

 

 

이 두 함수의 합성함수인 (f ∘ g)(x)의 그래프를 그리려면 어떻게 해야 할까요?

 

고등학교 1학년 수준에서 보통적인 해결방법은 f(x)의 함수와 gIx)의 함수식을 그래프에 맞는 구한 다음 합성시키면 됩니다. 하지만 이러한 방법은 시간이 꽤 걸릴 수 있습니다. f(x)가 범위에 따라서 함수 식이 두 개 나오고 g(x)도 마찬가지죠. 하지만, 교과서에 나온 합성함수의 정의를 조금 응용하면 각각의 함수 식을 구하지 않아도 그래프를 좀 더 효율적으로 그릴 수 있습니다. 이 방법은 다양한 방식으로 불리지만, 가장 흔하게 알려져 있는 것이 "어둠의 n축 스킬", 합성함수 그리기입니다. 이러한 이름을 가지게 된 유래는 중요하지 않을 듯합니다. 시간이 허락된다면, 눈으로만 살피지 말고 직접 손으로 그리면서 이해하면 합성함수 그래프는 좀 더 쉽게 그릴 수 있을 것이므로 꼭 "직접 손"으로 그리면서 익히시길 권해 드립니다.

 

먼저, 교과서에 나온 합성함수의 정의를 살펴보도록 하겠습니다.

 

임의의 집합 X, Y, Z와 두 함수 f:X→Y, g:Y→Z가 있을 때, 집합 X의 각 원소 x에  집합 Z의 원소 g(f(x))를 대응시키면 X를 정의역, Z를 공역으로 하는 새로운 함수가 정의되는 데, 이 함수를 f와 g의 합성함수 g∘f로 나타냅니다.

 

 

이 합성함수는 함수의 정의에 따라, 함수 f의 치역이 함수 g의 정의역이 같을 때나 부분집합일 때, 정의될 수 있습니다. 또한, 두 함수의 합성함수는 y=g(f(x))로 나타내는데, 위 그래프를 보면 알겠지만, 시작은 f로 시작했는데, g 다음에 f(x)를 써서 g(fx)로 씁니다. 보통 g 안에 있다고 해서 f(x)를 합성함수의 "속함수"라고 하며, g는 밖에 있다고 해서 합성함수의 "겉함수"라고 합니다.

 

이 개념은 사실 매우 중요합니다. 새로 반대 위치에 있는데, 표기를 반대로 하기 때문에 헷갈릴 수 있는데, 보통, 함수 f의 치역(다른 말로 표현하면: 속함수의 치역)은 g의 정의역(다른 말로 표현하면: 겉함수의 정의역)이 같을 때, 또는 부분 집합일 때 함수가 정의할 수 있다는 말로 바꾸면, 어떤 합성함수의 그래프를 그리는 데, 좀 더 직관적으로 표현할 수 있습니다. 

 

앞에서 주어진 문제에서는  (f ∘ g)(x)의 그래프를 그리는 것이므로 위 정의와 순서가 바꾸었다는 것에 주의해야 합니다. 보통 겉함수를 왼쪽에,  속함수를 오른쪽에 두고 합성함수 그래프를 그립니다. 그러고 나서, 오른쪽에 있는 속함수를 90도 회전시켜서 겉함수의 정의역과 같은 값이 되도록  밑에 위치시킵니다. 이 이유는 합성함수의 증가와 감소를 g(x)의 치역에 따라서 f(x)의 값의 변화를 쉽게 살펴보기 위함입니다.

 

 

그리고 오른쪽이나 기타 빈 곳에  (f ∘ g)(x)를 그를 자리를 한 개 마련합니다.

 

겉함수의 정의역과 속함수의 정의역을 같은 위치상에 두고, f(x)를 살펴보면, f(x) 꺾인 점 (2, 0)에서 증가와 감소의 변화가 있습니다. 따라서, 이 점을 지나는 점과 시작점, 끝점 등의 특이점을 아래와 같이  선(녹색선)을 그어줍니다.

 

 

g(x)의 원래 함수 정의역에서 x가 0에서 1까지  변하면, g(x)의 치역은 0에서 2까지 증가합니다. 이를 그래프로 표시하면 다음과 같습니다.

 

 

g(x)의 치역은 f(x)의 정의역이므로 f(x)가 0에서 2까지 변하면, f(x)의 치역은 4에서 0까지 감소합니다.

 

 

따라서 아래와 같이 합성함수 (f ∘ g)(x)는 0에서 1까지는  4에서 0까지 감소하는 직선을 그려 주면 됩니다.

 

 

g(x)의 정의역 1에서  2까지  증가하면 g(x)의 치역은 2에서 4까지  증가하며, 그림으로 나타내면 다음과 같습니다.

 

 

f(x)의 정의역 2에서  4까지  증가하면, f(x)의 치역은 0에서 2까지  증가하며 그림을 나타내면 다음과 같습니다.

 

 

따라서 (f∘g)(x)의 정의역 1에서  2까지는 0에서 2까지 증가하는 직선을 그려 주면 됩니다.

 

 

마지막으로, g(x)의 정의역 2에서  4까지  증가하면, g(x)의 치역은 4에서 2까지  감소하고, f(x)의 정의역 4에서  2까지  감소하면 f(x)의 치역은 2에서 0까지  감소하므로, (f∘g)(x)의 정의역 2에서  4까지는 2에서 0까지 감소하는 직선을 그려 주면 함성함수 그래프가 완성됩니다.

 

 

https://youtu.be/5oWQe0YFd28

 

이러한 합성함수 그래프를 그리는 방식을 익히는 것은 다음과 같은 수능 모의고사나 수능 문제를 좀 더 빠르게 해결할 수 있습니다. 다음 문제는 2020년 3월 서울교육청 수능 수학 모의고사 나형 문항입니다.

 

 

위 문제는 f(x)가 속함수이고, g(x)가 겉함수인데, g(x)와 합성함수 g(f(x))의 조건에 따라 f(x)의 극댓값과 극솟값을 구하는 것이므로 g(x)의 그래프를 위에 그리고, 밑에 f(x) 그래프 개형을 유추해서 해결하면 보다 쉽게 답을 구할 수 있는 문제입니다.

 

오늘 글을 마칩니다.