2020 수능 수학 나형 30번 풀이

2020학년도 수능 수학 나형 30번 풀이입니다.

최근 언론 보도로는 2%의 수험생이 정답을 맞혔다고 하는 문제를 풀어 보겠습니다.

■ 조건 1 

f(x)가 삼차 함수이고, 최고차항의 계수가 양수이면서 아래 식이 서로 다른 2개의 실근을 갖는다고 했으므로 그래프 모양을 대강 다음과 같이 그릴 수 있습니다.

이 말은 원점에서 중근을 가지고(즉 원점에서 두 그래프가 만나고), 다른 한 근을 p(p>0, p에서  두 그래프가 만남)라고 하면 위 그래프의 식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

■ 조건 2 

f(x)가 삼차 함수이고, 최고차항의 계수가 양수이면서 아래 식이 서로 다른 2개의 실근을 갖는다고 했으므로 그래프 모양을 대강 다음과 같이 그릴 수 있습니다.

이 말은  q(q>0이고 q에서 두 그래프가 만남)에서 중근을 가지고 다른 한 근은 원점을 지나므로 위 그래프의 식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

■ 조건 1의 식,

을 풀어쓰면

가 됩니다.

이것을 미분하면,

이다고 했으므로 위 식에 x 대신에 1을 대입하면

3a-2ap+1=1

a(3-2p)=0이 됩니다.

a가 0이 아니므로 p의 값은 다음과 같습니다.

■ 조건 2의 식,

을 풀어쓰면

가 됩니다.

이 식이 조건 1번 식(아래 식)과 같아야 하므로,

이 됩니다.

즉

따라서 2q = p가 되어야  합니다.

p의 값이 위에서 2분의 3(3/2)이라고 했으므로 q의 값은 다음과 같습니다.

또한,

에서

가 되어야 합니다.

이므로

가 됩니다.

 이제 아래 두 식에 위에서 구한 a, p, q 값을 모두 대입하고, f(3)의 값, x 대신에 3을 대입하여 구하면 됩니다. 아래 두 식 중에서 아무 식에나 대입하면 됩니다.

이 문제의 풀이 과정은 다양할 것입니다.

이 문제에 관한 한국교육과정평가원의 입장은 언제나처럼, "교육과정, 교과서를 충실하게 이해한 수험생은 누구나 풀 수 있는 문제이다....."입니다.

그러나 현실을 그렇지 못하는 것 같습니다.

이 문제는 교과서의 삼차 함수 그래프의 원리를 알아야 풀 수 있을 것입니다. 그런데 제 아이를 살펴보아도 교과서의 원리보다는 문제 풀이 중심으로 답을 아는 것에 중점을 두고 있는 것 같습니다. 그래서 위 문제가 어려웠던 것은 아닐까요?

미국에서는 일차함수 그래프의 기울기가 음수, 양수인 원리만 1개월 이상 배운다고 누군가에게 들은 적이 있습니다. 

우리나라에서는 원리보다는 문제 정답이 더 중요한 것이지요? 

어느 것이 더 좋은지는 잘 판단이 안 서지만, 그래도 원리에 더 중점을 두어야 하지 않을까 생각해 봅니다.

아울러, 이 문제는 정답률이 2%라고 하고,  이 문제를 맞힌 수험생들은 원점수 4점이 아닌 표준 점수로 환산 시 10점에 육박한다고 합니다.

결국 이 문제를 맞히면 대학교, 학과 등이 바뀌겠네요. 

문제 1개를 맞고 틀리는 것이 이렇게 중요한 것이 되어 버렸습니다.

대다수의 성인은 이것이 전부가 아니라는 것을 알 텐데, 왜 이리 문제 1개 차이로, 점수 몇 점으로 전국 수험생을 줄을 세워야 하는지 아직 저는 잘 모르겠습니다.