나머지 정리 문제 (초등학교 나눗셈 응용)

(풀이) 

위 문제를 해결하기 위해서 초등학교 때 배운 나눗셈의 나머지 개념을 가져와 보겠습니다. 

초등학교 수준에서 17을 2로 나누면 나머지가 얼마인가요?

17 = (2 × 8) ＋ 1로 쓸 수 있으므로 나머지는 1입니다. 

이때 2를 인수라 하고, 8은 몫, 1은 나머지라고 했던 것 같습니다. 이제 8 대신에 7을 쓰면 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

17 = (2 × 7) ＋ 3

그런데, 위 식을 자세히 보니 3을  2로 나누면 또 나머지가 1임을 알 수 있습니다. 즉 다음과 같은 식으로 다시 쓸 수 있습니다.

17 = (2 × 7) ＋ (2 ×1) + 1

이번에는 7 대신에 6을 써 보겠습니다. 그러면 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

17 = (2 × 6) ＋ 5

그런데 위 식도 자세히 보니, 5를 2로 나누면 몫이 2이고, 나머지가 1이 됩니다. 즉 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

17 = (2 × 6) ＋ (2 × 2) + 1

여기서 한 가지 얻을 수 있는 시사점은 어떤 수를 2로 나누었을 때 나머지가 3이라고 한다면, 이 3에는 인수 2가 한번 포함되어 있으므로 3도 또다시 2로 나누어 주어야 나머지가 1이 된다는 것입니다.

이것이 이해되었다는 가정하에 위에서 제시한 문제를 다시 보겠습니다.

그런데 위 식의 나머지인 (ax + b)를 자세히 보면, 위에서 말한 17 ÷ 2의 나머지처럼 Q(x) 앞에 있는 인수 (x - 1)이 숨어 있다는 것이 보입니다. 왜냐하면 ax도 결국엔 (x-1)로 나누어질 수 있기에, 따라서 위의 식은 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

문제를 보고 위 식을 세울 수 있다면 80% 성공입니다. (사실 이 식을 도출하기 위해서 지금까지 설명한 것입니다. 첫 번째로 쓴 식에서도 양변 미분하면 a값은 쉽게 풀립니다. 그런데 b는 만만치 않을 것입니다. 나머지 문제는 이 공식을 도출해서 풀 것을 추천합니다.)

Q(x)의 변수를 없애기 위해서 양변에 x 대신에 1을 대입합니다. 그러면 c의 값은 다음과 같이 구할 수 있습니다.

1 - n = c 

그리고 위 식은 양변을 미분해도 성립해야 하므로 미분하면 다음과 같이 식을 세울 수 있습니다.

위 식에도 x 대신에 1을 대입하면 우변의 Q(x)가 있는 부분은 모두 0이 되므로 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

(n+1) - n = a

따라서 a = 1이 됩니다.

이제 다 구했습니다.

위에서 나머지는 변형식 a(x-1) + c이므로 a = 1, c = 1- n을 대입하면,

(x-1) + (1-n)  = x - n이 나머지가 됩니다.

이해가 되셨는지요?

약간 난이도가 낮은 문제를 더 풀어 보겠습니다.

먼저, 주어진 이차식을 인수 분해합니다.

첫 번째 문제 풀이 방식처럼 초등 수학에서 배운 나머지 정리를 이용해서 다음과 같이 식을 씁니다. 즉, f(1) = 4라는 말은 f(x)를 (x-1)로 나누었을 때, 나머지가 4가 된다는 것과 같은 말입니다. 몫을 Q(x)라고 한다면 다음과 같은 식을 만들 수 있습니다.

위 식만 세운다면, 이 문제는 90% 해결입니다. 우리가 구하고자 하는 나머지는 a값만 구하면 되기 때문입니다.

이제 한 번도 사용하지 않은 조건 2를 이용합니다.

조건 2에 x 대신 1을 대입하면, 

이제 아래 식에 x 대신에 3을 대입합니다. 그러면 Q(x) 앞은 모두 0이 되므로 쉽게 a값을 구할 수 있습니다.

f(3) = a(3-1) + 4 = 28

2a + 4 = 28

2a = 28 - 4 = 24

a = 12

우리가 구하고 하는 나머지 g(x) = a(x-1) + 4이므로 여기에 a 대신에 12를 대입하면 g(x)는 다음과 같습니다.

g(x) = 12(x-1) + 4

g(2)는 위 식에 x = 2를 대입하면 됩니다. 이 때 괄호를 전개하여 풀 필요 없이 위 식에 대입하는 게 빠릅니다.

문과 출신인 저는 나머지 정리 관련 문제를 위와 같은 방식으로 대부분 해결했던 거로 기억합니다. 몇 번만 연습하면 다른 응용문제도 쉽게 풀 수 있을 것입니다.

수학에 흥미가 없고, 재미없어도, 나머지 정리 관련 문제만큼은 초등학교 나눗셈을 조금 응용해서 풀면 쉽게 접근할 수 있을 테니 절대로 포기하지 마시길 바랍니다.