함수의 극한과 연속 및 미분 계수의 활용

위 문제는 2015년에 11월에 실시된 2016학년도 수능 A형 28번을 응용한 것입니다. 수학을 전공한 지인에게 수능과 유사하게 답으로 자연수가 나오는 문제로 바꾸어 달라고 부탁했더니 위와 같은 문제가 나왔습니다.

이 문제에 제가 관심을 가진 이유는 먼저, 이 문항이 당시 수능에서 오답률이 70%가 넘는다는 말을 들었기 때문입니다. 시험 시간이 주는 압박감 등을 잘 알고 있지만, 그렇다손 치더라도 오답률이 너무 높은 것 같아 저도 지금까지 기억하고 있는 제 방식대로 한번 풀어보겠습니다.

(풀이 과정)

1. (나 )식에서 x = 3을 분모와 분자에 대입하면 모두 0이 되어야 하므로 다음과 같은 식이 성립합니다.

 

2. 문제의 (가) 조건에 x 대신에 3을 대입하면 f(3) = g(3)이므로 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

g(3) = 9f(3) - 8 = 9g(3) - 8

-8g(3) = -8

g(3) = 1 = f(3)

따라서 곡선 위의 점은 (3. 1)이 됩니다. 접선의 방정식 y = ax + b의 값을 구하기 위해서는 이제 기울기만 구하면 됩니다.

기울기를 구하기 위해서 (가)의 조건을 양변 미분합니다.

위 식에서 x대신에 3을 대입합니다. 그러면 g'(3)은 바로 구하고자 하는 기울기가 됩니다.

g'(3) = 2*3*f(3) + 9f(3) = 6f(x) + 9f'(3)

g'(3) = 6f(3) + 9f'(3)이 됩니다.

위 식에서 f(3) = 1이므로 f'(3)의 값만 구하면 됩니다.

f'(3)의 값을 구하기 위해 이번엔 나의 조건을 다시 한번 이용합니다.

위 식은 x=3일 때, 미분 가능하다는 말이 되므로, 분자와 분모를 각각 미분하면 2가 된다는 말이므로 다음과 같은 식이 성립합니다.

f'(3) - g'(3) =2

f'(3) = 2 + g'(3)이므로 이 값을 위의 파란색 식에 대입합니다.

g'(3) = 6f(3) + 9(2+g'(3))

g'(3) = 6 x 1 + 18+9g'(3)

-8g'(3) = 24

g'(3) = -3입니다. 즉 기울기가 -3이고 (3, 1)을  지나는 직선의 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

y = -3(x-3) + 1 = -3x + 9 + 1 = -3x + 10

a = -3, b= 10

답: 109

** 문제 해결을 위한 접급법

■ 함수의 극한에 관한 기본 성질

■ 연속 함수의 성질

■ 미분 계수 정리

위에 언급한 3가지의 식은 마지막에 나온 미분 계수를 정리하기 위해 거의 모든 교과서나 참고서에 나와 있을 것입니다.

위의 식을 자세히 보면, 문제를 해결하는 데 필요한 몇 가지 식을 정리할 수 있습니다. 위에서 언급한 미분 계수 정리식을 다시 한번 자세히 보겠습니다.

앞의 식을 자세히 보면 h가 0에 가까워지면 분모인 h도 0에 가까워지고 결국엔 0이 된다고 볼 수 있습니다. 분자인 f(a+h)도 결국엔 f(a)만 남습니다. 따라서 분자는 f(a) - f(a)가 되므로 0이 됩니다. 즉 이 말을 다시 한번 정리하면 h =0을 대입하면, 분자도 0이 되어야 하고, 분모도 0이 된다는 것을 유추할 수 있습니다.

위의 식은 어떤가요? x가 a에 가까워지면 결국엔 분모인 x-a가 0에 가까워지고 결국엔 0이 될 것입니다. 분자도 마찬가지로 f(a) - f(a)되므로 0이 됩니다. 

위의 식에서 분모를 x에 대해서 미분해 보세요. 그러면 분모는 1이 됩니다. 그리고 분자를 x에 대해서 미분하면 상수 f(a)는 0이 되므로 분자는 f'(x)만 남고 여기에 x대신에 a를 대입하면 f'(a)가 됩니다. 

따라서 다음 식에서 중요한 세 가지 개념을 유추할 수 있습니다.

■ 위 식에서 새롭게 정리할 수 있는 식 

위 3가지 식을 이해하고 있다면, 많은 문제를 비교적 쉽고 빠르게 해결할 수 있으니 알아두시면 좋겠습니다. 처음에 언급한 수능 응용 문제도 이 3가지 정리를 알고 있다면 쉽게 해결할 수 있을 것입니다.