2020학년도 사관학교 수학 나형 기출 문제 (미분 응용)

2020학년도 사관학교 수학 나형 기출 문제 중에서 미분 응용문제입니다. 만약에 제가 수험생이었다면 시간 절약을 위해 이 두 문제를 먼저 풀고 다른 문제를 풀었을 것 같습니다. 제가 설명하는 방식은 이전 포스팅에서도 한 번 언급한 적이 있는데, 수학 전공한 지인에게 물었더니 이 같은 풀이 방식은 고등학교 교육과정을 벗어난 것이라고 하더군요. 하지만 일부 참고서나 선생님들께서 시간 절약형 문제로 보고 제가 해결하는 방식을 설명하고 있다고 하니 다시 한번 제시해 봅니다.

참고 포스팅: 함수의 극한과 연속 및 미분 계수의 활용

■ 2020학년도 사관학교 수학 나형 8번 문제 응용

(풀이)

1. 먼저 아래 식에서 h 대신에 0을 대입하면 분모가 0이 되므로 분자도 h 대신에 0을 대입하면 0이 되어야 함. 따라서 f(1) = 0임.

2. 또한 위 식을 분자와 분모를 미지수 h에 관해서 미분하고  h 대신에 0을 대입하면 3이 되어야 하므로 다음과 같은 식이 성립함.

f'(1) = 3

3. 아래 식의 양변을 전개하여 미분하면 다음과 같이 쓸 수 있음.

4. 구하고자 하는 값이 g'(1)이므로 3번 식에 x 대신에 1을 대입함.

g'(1) = f(1) + 1f'(1) + 3f'(1)

5. 위의 1과 2에서 f(1) = 0, f'(1) = 3이라고 했으므로, 4번 식에 해당 숫자를 대입하면 답이 나옴.

■ 2020학년도 사관학교 수학 나형 25번 문제 응용

(풀이)

1. 이차함수 f(x)가 f(0) = 0이므로 다음과 같이 쓸 수 있음.

2. 위 f(x) 값을 주어진 문제의 식에 대입하면 다음과 같이 쓸 수 있음.

3. 아래 식을 x에 대해서 미분하여 왼쪽 식은 x = 0, 오른쪽 식은 x = 1을 대입함. 

2ax + b       /     2ax + bx -1

그러면 다음과 같은 식이 나옴.

b = 2a + b - 1

또한 아래 식에서 x = 1을 대입하면 분모가 0이 되므로 분자도 0이 되어야 함.

a + b - 1 = 0

4. 위에서 파란색 2개의 방정식을 풀면, a = 1/2,  b = 1/2이므로,

5. 4번에서 구한 f'(x)의 값에 x = 0을 대입하면