연립 이차방정식 문제 풀어보기 [고등학교 수학]

■ 다음 조건을 만족하는 연립 이차방정식 x+y의 값을 구하시오.

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위와 같은 문제 해결 방식을 10초 이내에 생각했다면 이 글을 끝까지 읽을 필요가 없을 것 같습니다.

그러한 분이 계신다면 간략하게 답이 얼마 나왔는지만 댓글로 써 주세요. 제가 생각하는 답은 답글로 알려 드리겠습니다.

하지만 그것이 아니고, 이런 유형의 문제가 시험에 나왔다면 섣불리 풀려고 하지 마십시오. 간단해 보이는 이 문제는 사실 해법을 모르면 시간이 무척 오래 걸릴 수 있습니다.

이 문제는 제가 숫자를 직접 넣어서 만든 문제라서 다른 풀이법이 존재할 수도 있을 것입니다. 제가 아직 문제 만드는 게 익숙하지 않아서 아래와 같은 해결 방법을 제시하는 데 목적이 있는 문제임을 밝힙니다.

*위 문제의 방정식은 어떻게 풀어야 할까요?

먼저 두 식 전체를 더해 볼까요? 그러면 y의 제곱이 삭제되고 x와 (4x + y) 곱이 6이므로 적당하게 경우의 수를 생각하면 풀 수 있을 것 같습니다. 저는 이 방식을 아직 시도해 볼 생각이 없습니다.

또한 각 식을 인수분해하려고 해도 쉽게 해결이 안 됩니다.

xy의 계수를 같게 해서 x와 y의 제곱으로 이루어진 식을 만들어 볼까요? 물론 이렇게도 해결할 수 있을지 모르겠습니다. 그런데 이와 같은 방식으로 하려고 봤더니 x의 계수에 루트가 붙은 것으로 인수분해 되는데, 그 인수의 곱이 자연수가 되어 해결하기가 쉽지 않습니다.

이제 두 방정식의 상수항을 소거해서 풀어보겠습니다.

상수항을 소거하려면 두 번째 방정식에 모두 5를 곱해야 할 것 같습니다.

아래와 같은 식이 나왔습니다.

이 식을 문제에서 첫 번째 방정식과 나란히 써 주고 두 식을 빼 보겠습니다.

위 두 두 식을 빼면 다음과 같은 식이 됩니다.

위의 식은 이제 아래와 같이 정리할 수 있는 중3 수준의 인수분해 문제가 되겠습니다.

따라서 y = 2x 또는 x = -6y가 되어야 하는데, 조건을 적용하면 y = 2x가 되어야 합니다.

즉,  y 대신에 2x를 문제의 주어진 하나에 대입하면 되겠습니다. 저는 첫 번째 식에 y=2x를 대입해 보겠습니다.

이제 거의 다 구했습니다.

따라서  조건을 적용하면  x = 1, y = 2 (y = 2x이므로)가 되겠습니다. 

*연립 이차 방정식에서 위와 같은 문제의 유형은 "상수항"을 소거하면 쉽게 해결될 수 있으니 참고하시기 바랍니다.