절대부등식 (산술평균, 기하평균, 조화평균, 코시－슈바르츠 부등식) #161

오늘의 수능 영어 어휘는 제가 해결하지 못한 수학 문제를 알고 싶어서 영어 어휘와 함께 준비했습니다. 2015 수학 교육과정의 고등학교 수학의 성취기준에 다음과 같은 내용이 있습니다.

[10수학03-08] 절대부등식의 의미를 이해하고, 간단한 절대부등식을 증명할 수 있다.

위 성취기준에서 “간단한”의 범위를 어디까지로 봐야 하는 지는 잘 모르겠지만 “절대부등식”의 용어를 보통은 다음과 같이 산술평균 (= arithmetical mean), 기하평균 (= geometric mean), 조화평균( =harmonic mean), 코시-슈바르츠 부등식으로 많은 교과서에 제시하고 있는 것 같습니다. 

■ 산술평균, 기하평균, 조화평균 공식

■ 코시－슈바르츠 부등식

위 부등식은 처음 발견한 프랑스 수학자 코시와 나중에 독일의 수학자 슈바르츠가 일반화시킨 것으로 이 두 수학자의 이름을 따서 코시-슈바르츠 부등식이라고 부릅니다.

오늘의 수능 영어 어휘 학습은 “절대부등식”이라는 용어에서 가져온 영어 단어입니다.

절대부등식은 “식의 양변이 미리 정하여진 변역 안의 어떤 실숫값을 취해도 언제나 성립되는 부등식”을 말합니다. 즉 일정 조건에서 항상 부등식이 성립해야 한다는 것이지요. 그래서 절대부등식(absolute inequality)이라고 하는가 봅니다.

absolute는 2105 영어과 교육 과정상의 중고등학교 기본 어휘로 수록되어 있습니다. absolute는 ab(~에서)와 solute(풀다)가 합쳐진 어휘로 완전하게 풀렸다는 의미는 “완전히 해방된, 완전무결한”의 의미로 확장할 수 있겠습니다.

이 어휘는 어원을 알면 쉽게 뜻을 알 수 있을 것 같습니다.

absolute: 완전한, 철저한, 순수한, 절대적인

inequality는 교육 과정상의 어휘가 아니지만, 이것의 어근을 분리해 보면 부정의 접두사 (in)와 “같음”의 의미가 있는 equality로 분리할 수 있습니다. equality는 교육 과정상의 어휘 equal의 명사형입니다.

equal은 “땅이 매끄럽거나 평평한”의 뜻을 가진 말에서 유래한 것으로 이 뜻을 확장해 보면 “같은, 동일한, 동등한”이 됩니다. 따라서 equal의 의미는 다음과 같이 정리할 수 있습니다.

equal: 같은, 동일한, 동등한, 대등한

equality: 같은, 평등, 대등, 균등, [수학] 등식

이제 오늘 어휘의 의미를 다음과 같이 정리해 봅니다.

absolute: 완전한, 철저한, 순수한, 절대적인

equal: 같은, 동일한, 동등한, 대등한

equality: 같은, 평등, 대등, 균등, [수학] 등식

*inequality: 불평등, 불균형, 부등식

*absolute inequality: 절대부등식

영어 학습 관련해서는 여기까지입니다. 아래는 제가 해결하지 못한 수학 문제가 있어서 조언을 구하고자 작성한 것이니 혹시 불편하신 분이  계시다면 미리 사과의 말씀을 드립니다.

■ 문제

■ 풀이 과정 1 (판별식 활용)

이 식을 전개하여 x의 제곱으로 정리하면 다음과 같이 정리할 수 있음.

■ 풀이 과정 2 (코시－슈바르츠 부등식 활용)

위 식을 코시 슈바르츠 부등식 공식을 이용해서 하나씩 풀어쓰면 다음과 같음.

* 그런데 풀이 과정1과 합은 같은데, 최댓값, 최솟값이 다름. (제가 잘 못 풀었나 봅니다.)

■ 풀이 과정 3 (기하학 활용)

단위원인 그래프에서 기하학적으로

위 4개의 점을 주어진 식에 모두 대입하면, 최대는 17, 최소는 1이 나옴. 

어찌 되었건 최댓값과 최솟값의 합은 18.

이렇게 풀고 보니, 제가 알고 있는 3가지 풀이 과정에서 최댓값과 최솟값 합은 모두 18이 나오는데, 최대값과 최솟값이 모두 다르게 나옵니다. 과거에는 명확하게 풀었던 기억이 나는 데, 세월 앞에는 장사가 없음을 느낍니다.

혹시, 블로거 중에서 풀이 과정상의 제가 어떤 점을 생각하지 못해서 명확한 답이 안나오는지 알려 주시면 고맙겠습니다. 수학 관련 블로그 등을 운영하시는 분께서 포스팅해서 댓글로 블로그를 알려 주시면 좋겠네요.

* 추후 설명: 이 문제는 사실 꽤 어려운 문제 중의 하나로 수능에서는 나올 가능성이 거의 없어 보입니다. 만약에 나온다면 역대급 어려운 문제가 될 수 있을 것 같습니다. 코딩강아지님께서 댓글로 알려주신 내용인데, 풀이 과정 1로 해결해야 올바른 해법이 된다고 합니다. 제가 잘 못 알고 있는 풀이 과정2와 3은 왜 안 되는지 이유를 시간 되실 때 생각했으면 해서 그대로 남겨 둡니다.