파스칼의 삼각형, 하키 스틱 패턴 - 이항 정리의 활용

파스칼의 삼각형이란 자연수를 삼각형 모양으로 배열한 것으로 재미있는 성질이 있어서 글을 써 봅니다.

1. 파스칼의 삼각형 모양

위와 같은 파스칼의 삼각형 모양을 그린 후, 다음과 같이 숫자를 쓰면 됩니다. 1부터 시작해서 가운데는 위의 숫자를 더한 값이 됩니다.

2. 파스칼의 삼각형 숫자

위의 그림처럼 두 번째 줄에서 2의 값은 위에 있는 1과 1을 더한 것이고, 세 번째 줄의 3의 위에 있는 1과 2를 더한 값입니다. 이런 식으로 5번째 줄에서 10번째 줄까지 차례대로 더하면 위의 그림이 됩니다.

3. 파스칼의 삼각형 성질 1

파스칼의 삼각형은 오른쪽 식처럼 N행에 있는 이항 계수의 합은 2의 N승이  됩니다.

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4. 파스칼의 삼각형 성질 2

 N이 소수일 때는 N행에 있는 이항 계수들은 1을 제외하고 모두 N의 배수가 됩니다.

소수는 1과 자신 자신만으로 나누어떨어지는 1보다 큰 양의 정수를 말하는데, 2, 3, 5, 7, 11... 등이 있습니다.

위의 그림을 잘 보면 2번째 행에 있는 2는 2의 배수가 되고, 3번째에 있는 3은 3의 배수, 5번째에 있는 5, 10은 5의 배수, 7번째에 있는 7, 21, 35는 7의 배수가 됩니다.

5. 파스칼의 삼각형 성질 3 - 하키 스틱 패턴

위의 그림을 자세히 보면, 삼각형 왼쪽 1부터(빨간색이 칠해진 숫자) 시작하여 오른쪽 아래의 대각선 방향으로 5개의 숫자 1, 2, 3, 4, 5를 더하면 그 숫자가 있는 행에서 5번째에 있는 숫자가 그것의 합이 됩니다.

즉 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15가 되는데 15는 5가 있는 값의 다음 행의 5번째 값이 되는 것이지요.

오른쪽 1부터 시작해서(녹색이 칠해진 숫자) 왼쪽 대각선 방향으로 네 개의 숫자 1, 6, 21, 56을 더하면 그 값은 그다음 행의 오른쪽에서 4번째 숫자가 그 값이 됩니다.

이해를 돕기 위해 문제를 풀어 보겠습니다.

1 + 4 + 10 + 20 + 35 + 56 + 84는 얼마일까요?

위의 그림을 보면 210이라는 걸 알 수 있습니다.

위의 그림을 보면 모양이 하키 스틱 모양과 비슷하다고 해서 이러한 파스칼의 삼각형 성질을 "하키 스틱 패턴"이라고 한답니다.

수학이 어렵거나 재미없을 수도 있지만, 항상 그런 것이 아님이 저는 파스칼의 삼각형 성질을 통해서 알 수 있을 것 같습니다.