[최단 거리 경우의 수] 2020 4월 / 5월 모의고사 수능 수학 나형 29번 풀이

2020년 5월 21일 실시된 전국 연합평가 모의고사 수학 나형 29번 풀이입니다.

최단 거리 문제가 이렇게도 응용되어 나올 수도 있네요. 역시 수학의 응용은 끝이 없는 것 같습니다. 그래서 이러한 문제를 내신 선생님의 노고에 경의를 표하지만, 수학 전공자도 아니고, 문과 출신이며, 일반 회사 다니는 두 아이의 아빠가 이러한 문제를 볼 때마다 수학이 저에게 무엇이었을까 생각하게 됩니다. 결론은 쉽게 답이 나오지 않네요.

저는 이 문제의 의도는 알 것 같습니다. 순열의 개념과 제시된 2가지 조건을 얼마나 잘 이해하여 문제 해결 능력을 길러서 아이들이 사회에 나가서 어떤 일을 하더라도 이러한 능력이 삶을 살아가는데, 도움을 주고자 하는 그러한 의도를요.

자세히 모르면 즉, 무식하면 용감하다는 말이 있습니다. 이 글을 쓰는 저는 수학 관련 일을 하지도 않거니와 또한 수학 교육의 본질은 알지 못하지만, 제가 알고 있는 수준에서 문제를 다음과 같이 해결해 보겠습니다.

1. 조건 1에서 색칠한 부분의 길 네 변을 모두 지나야 한다고 했으므로 A ->B까지 가는 길은 2번 그림에서처럼 C를 항상 지나야 함을 알 수 있습니다. 왜냐하면 C를 지나지 않고 윗부분의 길과 오른쪽 길을 들렀다가 가면 최단 거리가 안 되기 때문입니다.

[그림 1]

[그림 2]

2. 아래 그림처럼 A->C까지 가는 방법을 계산해 봅니다. 차례대로 가는 방법을 더하면 A -> C까지는 6번이 나옵니다.  참고 글: 최단 거리 경우의 수  

3. 문제가 A -> B -> A로 왕복하는 것이므로 C에서 B에 갔다가 다시 C까지 오는 경우 수를 생각해 봅니다. 조건은 네 변의 길을 모두 지나야 한다고 했으므로 C에서 위로 바로 올라갔다가 B를 거쳐서 다시 내려오는 방법과 C에서 오른쪽으로 갔다가 B를 거쳐서 내려오는 방법으로 총 2가지가 있습니다. 즉 A -> C -> B -> C 방법의 수는 총 8가지가 됩니다. 이제 아래처럼 C점 8가지에서 A로 내려오는 방법을 계산합니다. 그러면 A까지 다시 되돌아오는 경우의 수는 48가지 됩니다.

4. 이제 조건 2를 생각합니다. 조건 2에서 정사각형 4개의 변을 모두 지나는 경우는 노란색 색칠한 부분뿐이라고 했으므로 나머지 4개의 정사각형에서 네 변을 모두 지나는 경우의 수를 계산해서 48에서 빼 주면 되겠습니다.

위의 그림에서 파란색 칠한 부분을 보겠습니다. A에서 D까지는 2가지 방법이 있습니다. 다시 D에서 A까지 오는 방법도 2가지가 있겠습니다. 네 변을 모두 지나는 경우는 2가지가 있습니다. 이런 정사각형이 4개 있습니다. 따라서 4개의 파란색 정사각형의 네 변을 모두 지나는 경우는 각각 2가지씩 총 8가지가 되겠네요.

5. 따라서 48 - 8 = 40가지가 구하는 답이 되겠습니다. 

*답이 틀려도 과정을 알아가는 수학 문제가 나올 수는 없는 것일까요? 덴마크에서는 수학 시험에서 풀이 과정이 맞으면, 답이 틀려도 만점 맞을 수 있다고 하는데 말이죠. 그렇게 결과가 아닌 과정을 알아가는 수학 교육이 되기를 희망합니다.

*제가 위와 같은 방식으로 해결했을 때, 혹시 놓친 부분이나 오류가 있으면 댓글로 의견 주시기 바랍니다.