이차함수 그래프 계수 부호 구하기

수학 시험에서 모든 문제가 답을 구하는 데 5분 또는 10분이 걸리지 않을 것입니다. 일부 문제는 빠르게 구하여 시간을 확보하는 것이 필요할 수 있습니다. 계산하는 데 절대 시간이 필요한 문제를 해결하기 위해서는 짧은 시간에 풀 수 있는 문제 유형을 몇 개 익히면 좋을 것 같아 오늘 글을 제시해 봅니다.

아래 문제 해결 방법은 개념의 원리를 이해해야 하는 수학의 특성을 고려하면 그리 바람직한 방법이 아니라고 판단이 되지만, 곧 1학기 기말고사를 준비하고 있는 아이를 위해서 글을 써 봅니다. 따라서 미리 이 방법을 알고 있거나, 수학 교육의 효용성에 관해서 바람직하지 않다고 여기신 분들에게는 미리 양해의 말씀을 드립니다.

■ 문제 1

■ 풀이

1. 이차함수 그래프가  위로 볼록이므로 a < 0

2. y 절편 (=x의 좌표가 0일 때, y의 값 = y축과 만나는 점의 좌표 = 함숫값에 x = 0을 대입한 값.)이 y > 0인 지점에 있으므로 c > 0

3. b의 부호는 2차 함수 그래프와 y축이 만나는 점 (= y 절편, 위의 함수에서는 c)에 접선을 그으면 답이 바로 나옵니다.

위 그림처럼 c의 점을 지나는 접선을 그으면 일차 함수가 되는데, 이 일차 함수의 기울기가 b의 부호임. 위의 빨간색 선의 그래프의 기울기가 음수이므로 b < 0임.

4. 위의 1, 2, 3의 조건을 모두 정리하면 다음과 같이 정리됨.

답: a < 0, b < 0, c > 0

■ 문제 2

■ 풀이

1. 아래로 볼록이므로 a > 0

2. y 절편이 x축 아래에 있으므로 c < 0

3. y 절편에 접선을 그으면 아래와 같음.

위 빨간색 접선의 기울기는 양수이므로 b > 0.

4. a > 0, b > 0, c < 0

따라서 주어진 두 번째 식은 다음과 같이 정리할 수 있음.

1. b는 0보다 크므로 아래로 볼록인 그래프.

2. c는 0보다 작으므로 y 절편에서 접선의 기울기가 음수가 되어야 함.

3. a는 0보다 크므로 y 절편은 양수가 되어야 함.

위 1, 2, 3의 내용을 잘 적용하면 그래프 유형은 다음과 같이 표현할 수 있음.

위 그래프는 대강적인 그래프 유형(= 2차 계수, 1차 계수, 상수항의 부호를 적용한 그래프)입니다.

위의 함수에서 c의 부호가 음수인 상황을 제시해 봅니다. a에서 접선을 그으면 그 직선의 기울기는 0보다 작게 나오네요.

이상으로 이차함수 부호 결정하는 방법을 알아보았습니다. 시간이 허락한다면 고등학생을 위한 3차 함수의 부호를 결정하는 방법에 관해서도 추후 포스팅을 하겠습니다.