다항식 나머지 정리 #234

나머지를 영어로 하면 어떻게 표현할까요?

교육 과정상에서 "나머지"를 뜻하는 어휘는 중고등학교 기본 어휘인 rest와 remain이 있어요.

rest는 보통 "나머지"라는 뜻보다는 "휴식; 휴식하다"는 의미로 더 많이 쓰이는 것 같아요. 

rest의 어원을 살펴보면 "뒤에"라는 re와 "서다"는 뜻의  st가 합쳐진 것으로 "뒤에서 서 있는 것"을 의미했어요.

"나머지"가 그래서 "모두 나눠주고 뒤에 (남아서) 서 있는 것"의 의미하는 것인지도 몰라요.

rest는 위 의미가 확장되어 "여전히 그대로이다, 여전히 ~이다"는 뜻으로도 사용되어요. 즉 remain과도 비슷한 의미이지요. 사실 remain은 이번이 두 번째 어휘 설명이에요.

remain은 re(뒤에)와 main(남겨 두다)가 합쳐진 어휘로 그 뜻이 rest의 나머지와 비슷해요. 

"뒤에 남겨 두다"이므로 "여전히 있다"는 뜻이 되는 것이지요. 

"뒤를 보면 비로소 보이는 것들"이라는 제 블로그 설명은 바로 rest와 remain과 연관이 있어요. "뒤에 항상 있으면서 휴식을 줄 수 있는 블로거"가 되자는 의지와 희망이 담겨 있는 말이지요.

꿈보다 해몽이 그럴듯하다고요?

오늘 수능 영어 어휘를 다음과 같이 정리해 봅니다.

rest: 휴식; 나머지; 쉬다, 여전히 그대로이다, 여전히 ~이다

remain: 여전히 있다, 머무르다, 남아 있다; 나머지

수학에서 나머지를 나타내는 말은 다음과 같아요.

remainder: (수학) 나머지, 잔여물

이왕 이렇게 나머지 관련 영어 어휘를 설명했으니, 나머지 관련 수학 문제를 하나 소개해 볼게요.

■ 풀이 과정

조건 (1)은 다음과 같이 쓸 수 있어요.

(1) f(x) = (x+3)(x+1)Q(x) + ax -14  

조건 (2)는 다음과 같이 쓸 수 있어요.

(2) f(x) - 22 = (x+3)(x-1)Q1(x)

조건 (3)은 다음과 같이 쓸 수 있어요.

(3) f(x) = (x+2)Q2(x) + 10

위 내용을 정리하면 다음과 같아요.

(1) f(x) = (x+3)(x+1)Q(x) + ax -14

(2) f(x) - 22 = (x+3)(x-1)Q1(x)

(3) f(x) = (x+2)Q2(x) + 10

새롭게 정리된 식 (1)과 (2)에 x=-3를 대입해요.

(1) f(x) = (x+3)(x+1)Q(x) + ax -14

     f(-3) = -3a -14

(2) f(x) - 22 = (x+3)(x-1)Q1(x)

     f(-3) - 22 = 0

     ∴ f(-3) = 22

(1) f(-3) = -3a -14   

(2) f(-3) = 22

위 식을 풀면 다음과 같아요.

-3a -14 = 22 

-3a = 36  

a = -12

따라서 (1)번 식은 다음과 같이 쓸 수 있어요.

 f(x) = (x+3)(x+1)Q(x) - 12x -14

위 (1)식에 x=-1을 대입해요.

∴  f(-1) = 12 - 14  = -2

맨 처음 (2)번 식을 불러와요.

(2) f(x) - 22 = (x+3)(x-1)Q1(x)

위 (2)식에 x=1을 대입해요.

f(1) - 22 = 0

∴  f(1)  = 22

맨 처음 (3)번 식을 불러와요.

(3) f(x) = (x+2)Q2(x) + 10

위 (3)식에 x=-2를 대입해요.

∴  f(-2) = 10

지금까지 구한 값을 다음과 같이 정리할 수 있어요.

f(1)  = 22

f(-1) = -2

f(-2) = 10

f(-3) = 22

아직 안 끝났어요.

f(x)가 삼차식이므로 일반식은 다음과 같이 쓸 수 있어요.

위 식 x 대신에 아래 값을 대입해서 a, b, c, 그리고 d를 구하면 되요.

f(1) = 22, f(-1) = -2, f(-2) = 10, f(-3) = 22

하지만 ......

연립식을 푸는 게 너무 복잡해요

우리는 f(3)의 값을 구해야 해요.

우리는 인내심이 조금 더 필요해요.

그래서 앞에서 구한 값을 다시 가져왔어요.

f(1) = 22, f(-1) = -2, f(-2) = 10, f(-3) = 22

위의 값을 보고 저는 다음과 같은 식을 만들었어요.

f(x) = a(x-1)(x+3)(x+1) + b(x-1)(x+3) +c(x-1) + 22

이유는 묻지 마세요. 설명하려면 시간이 더 필요해요.

필요하시면 다음 포스팅을 참고해 보세요.

나머지 정리 기초

x = -3을 대입하면 c는 0이에요.

x = -1을 대입해요.

f(-1) = b(-2)(2) + 22 = -2

-4b + 22 = -2

-4b = -24

∴  b = 6

다음과 같이 위 식이 정리되어요.

f(x) = a(x-1)(x+3)(x+1) + 6(x-1)(x+3) +0(x-1) + 22

x = -2을 대입해요.

f(-2) = a(-3)(1)(-1) + 6(-3)(1) + 22 = 10

3a - 18 + 22 = 10

3a + 4 = 10

3a = 6

∴  a = 2

이제 다 구했어요.

f(x) = 2(x-1)(x+3)(x+1) + 6(x-1)(x+3) +0(x-1) + 22

x = 3을 대입해요.

f(3) = 2*2*6*4 + 6*2*6 + 22 = 190

제가 더 복잡하게 풀었는지도 모르겠어요. 답이 틀렸는지도 모르겠어요. 혹시 해결하는 방식이 틀렸거나 좀 더 쉬운 방법이 있다거나, 답이 틀렸으면 댓글로 남겨 주세요.