수학적 귀납법과 인덕션 레인지 #253

식당뿐만 아니라 가정에서도 요즘 가스레인지 대신에 인덕션 레인지를 많이 사용하고 있는 것 같습니다. 인덕션 레인지는 유도 가열 원리를 이용해서 만든 가열 기구로, 가스레인지보다 산소 소모가 적고, 가스와 다르게 배출 가스 오염의 위험이 없으며, 기구 자체가 달궈지지 않아서 화상 위험이 적은 기구라고 하는데요.

우리는 흔히 인덕션 레인지를 줄여서 "인덕션"이라고 말하며, 영어로 induction이라고 씁니다.

induction은 비교적 쉬운 in(~안에)과 duction(이끄는 것)을 어원으로 하는 어휘입니다. 이 어원의 의미를 인덕션 레인지에 적용해 보면, 전기 안에 있는 자기장을 밖으로 이끌어서 용기를 가열하는 기구라고 할 수 있겠습니다. 또한 안에 있는 것을 끄집어내기 위해서는 잘 나올 수 있도록 "유도"하는 것도 필요할 것입니다. 

교육 과정상에서 induce가 별 두 개짜리 어휘로 고등학교 진로 선택 및 전문 교과 어휘로 소개되어 있는데, induction이 바로 induce의 명사의 하나입니다. 

논리 전개 방식을 연역법과 귀납법으로 구별하는데, 여기서 귀납법을 영어로 induction이라고 합니다. 따라서 귀납법의 영어 어원을 살펴보면, 안에 있는 개별적인 사실이나 원리를 끄집어내어 일반적인 원리를 끌어내는 방식이라 할 수 있겠습니다.

위의 설명을 바탕으로 induce와 induction의 우리말 뜻을 다음과 같이 정리해 봅니다.

induce: 끌어내다, 유발하다, 야기하다, (전기를) 유도하다

induction: 유도, 귀납법, 유발, (조리 기구) 인덕션

수학에서 수열 부분을 보면 "수학적 귀납법"이라는 용어가 있습니다. 수학적 귀납법은 위에서 논리 전개 방식의 하나인 귀납법과 의미가 약간 다르긴 하지만 induction으로 용어를 표기합니다.

수열을 정의할 때, 일반항을 구체적인 식으로 나타낼 수도 있지만, 이웃하는 항들 사이의 관계식으로 정의하곤 하는데, 이것을 "수열의 귀납적 정의"라고 하고, 이는 수학적 귀납법 단원에서 배우게 됩니다.

수학과 교육 과정을 살펴보니, 수학적 귀납법에 따른 증명은 원리를 이해할 정도로 간단히 다룬다고 나와 있는데, 사실 여기서 "간단히"라는 말이 저는 수학적이지 않다고 느껴집니다.

제가 고등학교 다닐 때는, 여러 가지 수열의 귀납적 정의의 유형을 5가지 정도로 정리해서 배웠던 것 같은데, 아마도 마지막 5번째 유형을 포함하지 않는 게 "간단히"라고 말하는 것 같습니다. 

혹시 이 글을 읽을지도 모를 고등학생을 위해서 오늘은 간단하게 5가지 유형 중에서 하나를 제시해 보겠습니다. 

위의 유형은 보통 다음과 같은 형식으로 나옵니다.

이 유형을 저는 학창 시절에 다음과 같이 해결했습니다.

위 식을 다음과 같이 임의로 씁니다. 

그러면 다음 식은 아래와 같이 쓸 수 있습니다.

이제  위의 바뀐 식에서 a 값을 구합니다.

위에서 구한 a 값을 적용해서 제시된 식을 변형해 줍니다.

위 식은 등비수열 유형이 되었습니다. 따라서 등비수열의 일반형을 구하는 공식을 쓰면 다음과 같습니다.

시간이 허락할 때, 나머지 유형도 모두 설명하겠습니다. 이상으로 오늘 글을 마칩니다.