다항식의 나눗셈, 이렇게 풀어보세요. [고1 수준]

고등학교 1학년 학생이 배우는 수학에 다항식의 나눗셈이 있습니다. 오늘은 초등학교에서 배운 나눗셈 방식을 이용해서 다항식의 나눗셈에 관해 이야기해 볼까 합니다. 아이가 다항식의 나눗셈을 하면서 끙끙거리는 모습을 보니, 이전에 저의 모습이 떠올라 조금이라도 제가 학창 시절에 풀었던 방식을 적어보겠습니다.

위 식의 나머지를 구하는 문제를 초등학교 나눗셈을 이용해서 해결해 보겠습니다.

먼저 1242 ÷ 123의 나눗셈을 해 봅시다.

1. 나눗셈은 세로로 계산하는 게 저는 가장 편합니다. 아래처럼 식을 써주죠.

2. 아래와 같이 1을 써 줍니다.

3. 123과 1을 곱해서 아래처럼 써 줍니다.

4. 이제 위의 숫자 124에서 123을 빼주면 12가 됩니다.

5. 12는 123으로 나누려고 보니 자릿수가 하나 작아서 더 이상 자연수 수준에서 나누어지지 않으니 위에 있는 숫자 1 옆에 0을 써 주고 나눗셈을 마무리합니다.

6. 위 식에서 10은 몫, 12는 나머지라고 합니다. 지금까지 초등학교 3학년 수학에서 나온 나눗셈을 풀어보았습니다.

■ 위 식은 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

1242 = (123 × 10) + 12

■ 1242는 다음과 같이 써 주어도 성립합니다.

1242 = (1 × 1000) + (2 × 100) + (4 × 10) + 2

■ (1 × 1000) + (2 × 100) + (4 × 10) + 2는 다음과 같이 써도 됩니다.

■ 위 식의 오른쪽 내용에서 10을 x라고 가정해 보고 식을 다시 작성해 보겠습니다. (문자 앞에 1은 흔히 생략하고 씁니다.) x 앞에 있는 숫자만 쓰면 1242가 되는군요.

■ 123은 (1 × 100) + (2 × 10) + 3이므로 위와 같이 x를 10으로 가정하고 식을 쓰면 다음과 같습니다.

■ 나눗셈에서 구한 몫은 10이므로 이 수도 x로 표현하면 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

■ 나눗셈에서 구한 나머지는 12이므로 이 수도 x로 표현하면 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

■ 따라서 다음과 같은 방법으로도 식을 표현할 수도 있겠습니다.

 

■ 이제 포스팅 제일 위에서 제시한 다항식 나눗셈을 다시 한번 보겠습니다.

몫: x, 나머지: x+2

■ 위 식은 이 글부터 거꾸로 위로 올라가면 어떻게 식을 쓸 수 있을까요? 바로 (1242 ÷ 123)를 x로 표현할 수 있는 것입니다. 따라서 아래와 같은 다항식의 나눗셈은 x 앞에 있는 계수만 써 주고 초등학교 때 배운 나눗셈으로 풀면 되겠습니다. 요지는 대부분 교과서, 참고서에 나온 것처럼 x를 써주고 나눌 필요가 없다는 것입니다.

■ 다음 문제를 한번 풀어볼까요?

를

으로 나눈 나머지가 0일 때

의 값을 구하시오.

■ 풀이 과정은 다음과 같이 x 앞에 있는 계수만 써 줘도 됩니다. 만약에 3제곱, 2제곱, 1제곱, 상수항이 없을 때는 그 자리에 0을 써주면 됩니다.

1. 

2.

3. 

4.

5. 

6.

7. 

8. 다 구했습니다. 나머지는 다음과 같습니다.

9. 나머지가 0이라고 했으므로 

이 되어야 합니다.

10. 따라서 a - 6 = 0, b+3 = 0이 되어야 하므로 a = 6, b = -3이 됩니다. 

* 이상으로 다항식 나눗셈을 할 때, x를 써주지 않고 계수만 써서 나눗셈을 해도 괜찮은 이유를 알아보았습니다. 저는 사실 학창시절 위와 같은 식으로 풀었습니다. 때론 이렇게 푸는 것이 강력한 문제 해결의 도구가 될 수도 있을 것입니다. 도움이 되셨길 바랍니다. 게으른 아빠가 아이에게 보내는 또 하나의 편지글을 보내며 글을 마칩니다.