2020 9월 모의고사 수학 나형 30번 풀이

문제를 해결하기 위해서 참고해야 할 교과서 내용은 다음과 같습니다.

1. (공통) 수학: "도형의 이동" 단원에서 x축, y축, 원점, 직선 y = x에 관한 대칭 이동

2. 수학 II: "미분" 단원에서 "함수의 그래프"

(풀이 과정)

1. 조건 (가)를 만족하는 그래프는 1, 3이 서로 다른 실근을 갖는 그래프 개형임.

2. 조건 (나)에서 x가 1보다 크거나 같고, f'(x)=0의 원소의 개수가 1이다고 했으므로 f(x)는 다른 세 근을 가지며, 두 근이 (가)에서 1, 3이므로 다른 한 근을 k라고 가정할 수 있음.

3. 위 1, 2번의 내용을 조금 확장해 보면, x가 1보다 크거나 같은 점에서 미분이 가능하다고 했으므로  결국 k, 1, 3의 순서로 f(x)는 세 근을 가진다고 할 수 있음. 그래프의 대강적 모습은 다음과 같음.

4. 주어진 문제에서 f(x)와 f(a-x)와의 관계는 f(x)를 y축 대칭 후, (a, 0)에 관해 대칭 이동한 것이므로 f(a-x)의 중심은 x=a/2로 파악가능함. 따라서 f(a-x)의 그래프는 다음과 같이 대강적인 개형을 그릴 수 있음.

5. g(x) = |f(x)f(a-x)|가 실수 전체에 집합에서 미분 가능하다는 말은 g(x)가 홀수 제곱수로 인수분해 되면 안 되며, f(a-x)의 그래프도 x=k, 1, 3에서 실근을 가져야 함. 따라서 위의 3, 4번의 그래프가 3점에서 서로 만나며 f(x)를 a만큼 대칭 이동한 그래프인  f(a-x)의 가운데  x좌표는 1이 되어야 함. 즉 x = a/2가 1이 되어야 하며, 이 x=1은 삼차함수의 변곡점으로 볼 수 있음.

a/2 = 1이므로 a = 2임.

6. 5에서 x = 1은 변곡점이라 볼 수 있다고 했으므로, 삼차함수 비율 정리에 따라 k = -1임.

7. 3과 6 설명에서 세 근이 -1, 1, 3인 삼차함수 f(x)는 다음과 같이 정리할 수 있음.

f(x) = p(x+1)(x-1)(x-3)

8. 또한 a = 2이므로 

f(2-x) =p(2-x+1)(2-x-1)(2-x-3)

= p(3-x)(1-x)(-1-x)

= -p(x+1)(x-1)(x-3)

= -f(x)

9. g(x) = |f(x)f(a-x)| = |f(x)f(2-x)| = |f(x) x (-f(x))| 

10. 따라서 주어진의 값은 아래의 숫자를 대입하면 구할 수 있음.

*이 문제에 관한 저의 한줄 평은 "유구무언"입니다.