나머지 정리를 이용한 이차함수 계수 구하기 (기초편)

나머지 정리를 이용한 2차 함수 계수 구하기 (기초편)

 

이차함수 가 세 점 (1, 12), (-1, 8), (2, 8)을 지날 때 2a-b+2c의 값을 구하시오.

참고로 위 문제는 2차 다항식을 x-1로 나누었을 때 나머지가 12, x+1로 나누었을 때 나머지가 8, x-2로 나누었을 때 나머지가 8일 때 다항식의 계수를 구하시오. 와 같은 유형의 문제라고 보셔도 됩니다.

 

위 문제를 푸는 몇 가지 방법을 설명 드리겠습니다.

첫 번째 방법은 중학교 수준에서 해결할 수 있는 방법을 제시했습니다. 

두 번째 방법은 고등학교 수준에서 해결하는 방법을 제시했습니다. 수능을 준비하는 수험생이라면 위 문제를 빠르게 해결하는 방법을 익해 보시기 바랍니다.

1. 중학교 수준에서 문제 해결 방법

 

(1) (1, 12)가 이차함수 위의 점이므로 x=1, y=12들 대입합니다.

     12 = a + b + c

 

(2) (-1, 8)이 이차함수 위의 점이므로 x=-1, y=8을 대입합니다.

    8 = a -b + c

 

(3) (2, 8)이 이차함수 위의 점이므로 x=2, y=8을 대입합니다.

    8 = 4a + 2b + c

(4) 위에서 새롭게 구한 (1), (2) (3)번 식의 연립 방정식을 풀어 줍니다.

 

1) (1)과 (2)번의 두 식을 더합니다.

   

  12 = a + b + c

+ 8 = a - b + c

___________________

  20 = 2a +2c

 

** 더해서 나온 방정식을 2로 나누어 줍니다.

10 = a +c

 

2) (2)번 식이 양변에 2를 곱한 후, (3)번식과 더합니다.

  16 = 2a - 2b + 2c

+ 8 = 4a + 2b + c

___________________

  24 = 6a +3c

** 더해서 나온 방정식을 3로 나누어 줍니다.

8 = 2a + c

 

(5) 위의 1)번과 2)번에서 나온 방정식을 서로 빼줍니다.

  10 = a +c

- 8 = 2a + c

___________________

  2 = -a

∴ a = -2

(6) (5)에서 구한 a = -2를 10 = a +c와 12 = a + b + c에 차례대로 대입해서 b와 c의 값을 구해 줍니다.

 

a = -2, c = 12, b = 2

 

(7) (6)에서 구한 a, b, c의 값을 문제에 나온 2a-b+2c에 대입해 줍니다.

∴ (2×-2) - (2) + 2×(12) = -4-2+24 = 18

2. 고등학교 수준에서 문제 해결 방법

 

이차함수 가 세 점 (1, 12), (-1, 8), (2, 8)을 지날 때 2a-b+2c의 값을 구하시오.

(1) 세 점 중에서 2개의 점의 좌표를 선택해서 a 다음에는 점 두 개의 좌표를 (x-1)(x+1)을, b 다음에는 (x-1)를 상수는 (1, 12)에서 y좌표를 써 줍니다. 

(아래 예시는 (1, 12)를 선택했습니다.)

 

그러면 다음과 같은 식이 세워 집니다.

 

 

(2) 위 식에 b'가 0이 되지 않는 좌표 (-1, 8)를 x와 y 대신에 대입을 합니다.

1) (-1, 8)을 대입

8 = b'(-2) + 12

∴ b' = 2

 

(3) 사용하지 않은 나머지 점의 좌표(2, 8)을 대입해서 a값을 구합니다.

 

8 = a×1×3 + 2×1 + 12 = 3a+14

 

∴ a = -2

 

(4) 를 전개해서  형식으로 만들어 줍니다.

∴ 2a-b+2c = 18

 

 ** 나머지 정리에 관한 문제는   와 같은 식을 세울 수 있다면, 시간 절약 50% 이상, 관련 문제 해결 80% 이상을 좀 더 쉽게 풀 수 있이라 생각합니다.

 

조금 어려운 문제의 경우, 한 가지 팁을 드리자면, 위의 식을 양변 미분해서 해결할 수 있는 문제도 있습니다.

 

수능 수험생 여러분의 권투를 빕니다.