[삼각함수] sin, cos, tan 표 값 구하기 (20년이 지나도 잊지 않는 방법)

이번 시간에는 삼각함수 sin, cos, tan값을 잊어버리지 않고 오래 기억하는 방법을 알아보겠습니다.

 

 고등학교를 졸업한지 꽤 많은 세월이 흘렀고, 수학을 전공하지 않은 제가 최근까지 누구에게든지 설명할 수 있는 방식입니다. 따라서 수학을 전공하셨거나 가르치는 선생님들께서 보시고 수학 교육론에 근거하여 별로 효용가치가 없다고 판단되시더라도 미리 양해를 구합니다. 

 

저도 사실, 수학 교과서에 나온 개념 설명이 얼마나 중요한지를 알고 있으며, 개념을 알기 위해서는 교과서만한 게 없다는 것과 교과서의 중요성을 알고 있습니다. 그런데 위에서 밝힌 것처럼 수학과 관련된 일을 하지 않은 평범한 사회인인 제가 아직까지도 이 방식을 기억하고 글을 쓸 수 있다는 것에서 나름대로의 의의를 찾고자 합니다. 

 

또한 제가 아래 설명하는 방법은 특이한 것이 아니라는 것도 말씀드립니다. 즉 교과서 나온 기본 개념을 정리한 것뿐입니다.

 

 

먼저 방법과 절차를 정리해 드리겠습니다.

 

아래 8가지 절차는 sin, cos, tan을 구하는 기초가 되는 것입니다. 글로 설명을 해서 그렇지 여러분이 실제로 그려보면 간단하게 그릴 수 있을 것입니다. 글이 길어지므로 아래 글의 차례를 다음과 같이 정리합니다.

 

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I. 삼각함수 sin, cos, tan 값 구하는 준비 사항

 

II. sin 값을 구하는 방법

 

III. cos 값을 구하는 방법

 

IV. tan 값을 구하는 방법

 

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I. 삼각함수 sin, cos, tan 값 구하는 준비 사항

 

1. x축과 y축을 그리고 반지름이 1이고 중심이 (0, 0)을 지나는 원을 그립니다.

 

2. 1사분면의 원(=호)을 3등분하는 점 2개를 찍습니다.

 

3. 차례대로 2사분면, 3사분면, 4사분면도 각각 3등분하는 점 2개를 찍습니다.

 

(이렇게 하면 원 위에 점이 8개가 있습니다.)

 

4. x축과 가까운 점 4개에는 분모가 6인 분수를 써 줍니다.

 

5. 분자에는 1사분면부터 4사분면까지 차례대로 분모인 6과 나누어지지 않은 숫자를 1부터 차례대로 써 줍니다. 그러면 6분의 1파이, 6분의 5파이, 6분의 7파이, 6분의 11파이가 됩니다. (시계 왼쪽 방향입니다.)

 

6. 이번에는 y축과 가까운 점 4개에 분모가 3인 분수를 써 줍니다.

 

7. 분자에는 1사분면부터 4사분면까지 차례대로 분모인 3과 나누어지지 않은 숫자를 1부터 차례대로 써 줍니다. 그러면 3분의 1파이, 3분의 2파이, 3분의 4파이, 3분의 5파이가 됩니다. (시계 왼쪽 방향입니다.)

 

8. 마지막으로 원 위의 점(1. 0), (0, 1), (-1, 0), (0, -1), (1, 0)에 차례대로 0, 2분의 파이, 파이, 2분의 3파이, 2분의 4파이를 적어 줍니다.

 

아래 그림을 참고해 주세요.

 

우리는 보통 시험을 볼 때나, 수학 연습 문제를 풀 때 직접 손으로 도형이나 함수를 그려서 해결하므로 설명된 모든 그림 예시는 손으로 그린 것을 제시합니다. 그림을 잘 그리지 못해도 이해해 주시기 바랍니다.

 

 

II. sin 값을 구하는 방법

 

먼저, sin 값은 x, y 좌표에 단위원(=반지름이 1이고 원의 중심이 원점인 원)을 그렸을 때, 원의 점 y좌표입니다. 이 말을 다른 말로 표현하면 원 위의 점에서 y축에 수선의 발을 내렸을 때, y축과 만나는 점입니다. 그림을 이용하면 좀 더 이해가 쉬울 겁니다.

 

sin 6분의 파이는 얼마인가요?

 

바로 6분의 파이인 점에서 y축 좌표, 즉 y축에 수선의 발을 내리면 거의 2분의 1인 지점에서 만납니다. 따라서 sin 6분의 파이는 2분의 1입니다.

 

sin 3분의 1파이는 얼마인가요?

 

원 위에 표시한 3분의 1파이 점에서 y축에 수선을 발을 내리면 얼핏 봐도 2분의 1지점 보다 위에 있습니다. 그러면 sin 3 분의 파이는 2분의 루트 3입니다.

 

그럼 sin 2분의 파이는 얼마인가요?

 

sin 2분의 파이로 찍은 위의 점 y좌표, 즉 1입니다.

 

이런 식으로 하면 나머지 sin값도 모두 알 수 있습니다.

 

이러한 원리를 안다면, 일명 삼각함수 부호를 결정하는 “얼싸안코”도 사실 필요 없는 개념이 될 것입니다.

 

sin 값을 그림과 함께 제시합니다.

 

 

III. cos 값을 구하는 방법

 

cos 값은 sin 값과 다르게 x, y 좌표에 단위원(=반지름이 1이고 원의 중심이 원점인 원)을 그렸을 때, 원위의 점 x좌표입니다. 이 말을 다른 말로 표현하면 원 위의 점에서 x축에 수선의 발을 내렸을 때, x축과 만나는 점입니다. 그림을 이용하면 좀 더 이해가 쉬울 겁니다.

 

위에서 설명한 sin 값을 구하는 방식을 그대로 적용해 보겠습니다. 단지 sin 값에서 y가 x로 바꾼다는 것만 주의하시면 됩니다.

 

cos 3분의 파이는 얼마인가요?

 

바로 3분의 파이인 점에서 x축 좌표, 즉 x축에 수선의 발을 내리면 거의 2분의 1인 지점에서 만납니다. 따라서 cos 3분의 파이는 2분의 1입니다.

 

cos 6분의 1파이는 얼마인가요?

 

원 위에 표시한 6분의 1파이 점에서 x축에 수선을 발을 내리면 얼핏 봐도 2분의 1지점 보다 오른쪽에 있습니다. 그러면 cos 6분의 파이는 2분의 루트 3입니다.

 

나머지 cos 값도 위와 같은 방식으로 해결하면 쉬울 것입니다.

 

 

IV. tan 값을 구하는 방법

 

tan 값도 단위원에서 이해를 하면 편합니다.

즉 단위원 원에 점을 하나 찍고, 이 점과 원점과 그리고 x축이 만나는 점을 이어 직각 삼각형을 만듭니다. 그러면 tan 값은 바로 x분의 y가 됩니다.

 

여기까지 하고 끝나면 조금 서운할 겁니다.

 

이제, I에서 설명한 8개 절차를 마친 후, tan값을 구하기 위해서는 (1,0) 지점을 지나는 y축과 평행한 선을 하나 길게 그립니다. 일명 전봇대를 세우는 거죠.

 

이제 끝났습니다.

 

tan 6분의 파이는 얼마일까요?

 

원점과 6분의 파이라고 찍은 점을 이어서 전봇대까지 이어줍니다.

 

그러고 나서 전봇대와 만나는 점에서 y축의 수선의 발을 내립니다.

 

그러면 그림을 잘 그리지 못해도 2분의 1보다 위인 지점에서 y축과 만납니다.

 

그러면 tan 6분의 파이는 3분의 루트 3이 됩니다.

tan 3분의 파이는 얼마일까요?

 

동일한 방식으로 원점과 3분의 파이라고 찍은 점을 이어서 전봇대까지 이어줍니다. 그리고 전봇대와 만나는 점에서 y축에 수선의 발을 내리면 1보다 큰 지점에서 만납니다. 그러면 tan 3분의 파이는 루트 3입니다.

 

tan 2분의 파이는 얼마일까요?

 

똑같습니다.

 

원점과 2분의 파이라고 찍은 점을 이어줍니다. 그런데, 이렇게 하면 전봇대와 만날 수 있을까요? 전봇대와 평행하므로 만날 수 없는 것이죠. 그러면 tan 2분의 파이는 바로 무한대가 됩니다.

 

이런 방식으로 나머지 tan 값을 구해 보세요.

 

 

이상으로 sin, cos, tan 값을 구하는 방식을 알아보았습니다.

 

cos, sin, tan 45도, 또는 4분의 1파이, 4분의 3파이, 4분의 5파이, 4분의 7파이도 기회가 있으면 다시 별도로 설명을 드리겠지만, 위와 같은 방식으로 하면 크게 어렵지 않게 알 수 있을 것입니다.

 

아래 링크는 삼각함수 문제를 원을 이용해서 구하는 방법과 나머지 정리 관련 포스팅입니다.

 

왼손을 이용한 삼각함수 sin, cos, tan 값 구하기

 

삼각비, 특수각

 

삼각함수 방정식 응용 문제

 

삼각방정식과 부등식 응용 문제

 

나머지 정리, 인수 정리 빠른 풀이법

 

나머지 정리 활용

 

 

위에서 설명한 방법을 몇 번만 연습한다면, 삼각함수에서 나온 수많은 공식을 외우지 않아도 되고, 오랜 시간이 지나고 기억에서 지워지지 않는 방식이 될 것이라고 확신합니다.