삼차함수 접선 넓이 공식 구하기

삼차함수의 그래프와 일차함수 접선으로 둘러싸인 넓이 공식을 구해 보겠습니다. 아래처럼 x 좌표 α를 지나는 접선과 삼차함수가 만나는 다른 한점의 x좌표가 β로 아래와 같을 때(즉, α에서 중근, 다른 한 근이 β), 삼차함수와 접선이 이루는 넓이를 구하는 방법입니다.

 

 

1. 삼차함수를 f(x)라고 하고, 접선을 g(x)라고 한다면 g(x)-f(x)는 α에서 중근, 다른 한 근이 β이므로, 삼차항의 계수를 a라고 한다면 다음과 같이 쓸 수 있습니다. 

 

2. 삼차함수와 접선으로 둘러싸인 넓이는 정적분으로 나타내면 다음과 같습니다.

 

3. 위의 1번 식을 2번 식에 대입하면, 넓이는 구하는 식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다. (a>0, α<β)

 

4. 위 식에서 α=0까지 평행 이동시켜도 넓이에는 변함이 없음으로 위 함수를 그대로 x축으로 0까지 평행이동 시켜보겠습니다. 이때, 중학교 때, 배운 일차함수나 이차함수 등을 x=p, y=q만큼 평행이동한 시킨 개념을 가져옵니다.

 

만약, 어떤 함수 y = f(x)를 x=p, y=q만큼 이동한 함수를 구할 때는 y-q = f(x-p)가 된다는 개념이 있습니다. 증명은 배웠다는 전제하에 생략합니다.

 

이러한 개념을 확장해서 3번의 식을 x축으로 -α만큼, 다른 말로는 α=0이 되도록 평행 이동하면 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

 

 

5. 위 식을 다음과 같이 풀 수 있습니다.

 

6. 만약에 삼차함수의 삼차항 계수가 0보다 작다면, 위와 같은 방식으로 풀면 다음과 같은 식이 나옵니다.

 

 

7. 위의 5번 결과와 6번 결과를 하나로 통합한다면, 결국 삼차항의 계수 a의 부호에 관계없이 a는 항상 양수가 되어야 하므로 이는 결국 a의 절댓값과 같은 의미입니다. 따라서 삼차항의 계수의 부호에 상관없이 삼차함수와 접선으로 둘러싸인 그래프의 넓이는 다음과 같이 정리할 수 있습니다.

 

 

*이와 같은 방식을 익혔다면, 2021년 3월에 시행된 고등학교 3학년 수능 모의고사 수학 9번 문항을 쉽게 해결할 수 있겠습니다.

 

이상으로 삼차함수의 그래프와 일차함수 접선으로 둘러싸인 넓이를 구하는 공식 설명을 마칩니다.