수열 실생활 활용 사례 - 피보나치 수열

다음 네모 안에 들어가는 숫자는 무엇일까요?

 

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, □

 

위 수의 배열에는 규칙성이 있습니다.

 

먼저 2는 앞에 있는 1과 1을 더해서 나온 수입니다.

 

3은 앞에 있는 1과 2를 더해서 나온 수입니다.

 

5는 앞에 있는 2와 3을 더해서 나온 수입니다.

 

그럼 8은 어떻게 나온 수일까요?

 

그렇습니다. 앞에 나온 3과 5를 더해서 나온 수이죠.

 

그럼 □ 안에 들어가는 숫자를 유추할 수 있겠네요.

 

□ 안에 들어가는 수는 앞에 있는 21과 34를 더하면 55가 될 수 있습니다.

 

이처럼 “일정한 규칙에 따라 한 줄로 배열된 수의 열”을 우리는 수학에서 “수열”이라고 합니다.

 

위에서 제시한 숫자는 앞에 있는 두 개의 수를 더해서 차례대로 배열한 것으로 이 수열을 “피보나치 수열”이라고 합니다.

 

이 피보나치 수열은 중세 시대 수학자 “피보나치가”가 1년 동안 토끼가 얼마나 번식할 수 있나를 설명하면서 알려진 것입니다.

 

이 피보나치 수열은 우리가 수학이 실생활에서, 또는 자연에서 어떻게 활용되고 있는지를 보여주는 아주 재미있는 수열일 수 있습니다.

 

피아노 건반을 한번 살펴볼까요?

 

피보나치 수열과 음악 사이에는 연관성이 매우 높습니다. 위 피아노 건반의 한 옥타브에는 흰색 건반 8개와 검은색 건반 5개가 있습니다.

 

검은색 건반은 왼쪽에 2개가 있고, 오른쪽에 3개가 있습니다. 한 옥타브에는 검은색 건반이 2 + 3 = 5개가 되네요. 즉 앞에 있는 두 수의 합입니다.

 

흰색 건반 8개는 검은색 건반 3개와 합인 5를 합하면 나오는 수입니다.

 

즉, 검은색 건반 수와 흰색 건반 수의 합은 2, 3, 5, 8됩니다.

 

한 옥타브에는 검은색 건반과 흰색 건반이 모두 13개 있습니다.

 

2, 3, 5, 8, 13 순서로 쓸 수 있겠네요.

 

5부터는 앞에 있는 숫자와 차례로 더하면 나오는 수, 즉 피보나치 수열이 됩니다.

 

피보나치 수열은 자연현상에서 더 많이 관찰할 수 있습니다.

 

 

위 나무는 흔히 볼 수 있는 벚나무 사진입니다. 나무에서 피보나치 수열을 적용하는 게 쉽지는 않지만, 위 사진을 이를 조금 응용해서 적용해 본 것입니다.

 

나무가 자라면서 한 가지가 두 개로 갈라집니다. 이 중에서 하나가 새로운 가지를 만들고 자랍니다. 마디를 끊고 보면 가지 1개에서 2개로 되었다가 3개가 되어 자랍니다. 이때 갈라지지 않은 가지는 새로운 가지를 만들지 않고 그냥 자라기만 하는 것이죠. 그래서 마디를 중심으로 보면 3개가 됩니다. 그다음도 마찬가지죠. 그렇게 해서 마디를 중심으로 보면 가지가 5개가 됩니다. (위 사진은 설명을 위해 마지막 마디를 두 개 연결했습니다.)

 

이렇게 놓고 보면 3부터 줄기 수는 피보나치 수열이 됩니다.

 

1, 2, 3, 5

 

사실 피보나치 수열은 나무보다는 식물의 꽃잎 수에서 더 두드러집니다.

 

꽃잎의 수는 막연하게 생각하면 4개짜리 꽃잎이 있다고 생각할지 모르지만 사실 이것을 찾는 것은 쉽지 않습니다. 대부분 식물의 꽃잎은 피보나치 수열 배열을 이룹니다.

 

꽃잎 3개: 백합, 붓꽃, 아이리스 등

꽃잎 5개: 무궁화, 자두, 살구, 복숭아, 조팝, 채송화, 동백 등

꽃잎 8개: 모란, 수련, 코스모스 등

꽃잎 13개: 금잔화, 금불초 등

꽃잎 21개: 애스터, 치커리 등

꽃잎 34개: 질경이, 데이지 등

꽃잎 55개: 아프리카 데이지 등

꽃잎 89개: 갯개미취

 

위에서 제시한 꽃잎 개수를 차례대로 쓰면, 3, 5, 8, 13, 21, ... 등 8부터는 앞에 있는 숫자의 합을 나타내는 피보나치 수열이 됩니다.

 

피보나치 수열은 주식에서도 엘리엇 파동이론으로 규칙성이 있다고 알려져 있으며, 기타 해바라기 씨앗 배열 등에서도 관찰할 수 있습니다.

 

어떤 두 수의 비율이 그 합과 두 수중 큰 수의 비율과 같아지도록 하는 황금비율, "1.618.... : 1"과도 연관이 있습니다. 충분히 긴 피보나치 수열의 앞의 숫자를 뒷자리 숫자로 나누면 0.618....에 가까워지는데, 그것이 바로 황금비율 소수점과 가까워집니다.

 

오늘 글을 마칩니다.