헤론의 공식 증명

삼각형 넓이를 구하는 방법은 여러 가지가 있습니다.

이번 글에서는 삼각형의 넓이 구하는 방법 중에서 3 변의 길이만 알 때, 넓이를 구하는 방법에 관해서 알아보고자 합니다.

위와 같은 삼각형이 있다고 가정해 보겠습니다. 위 삼각형에서는 세 변의 길이가 a, b, c만 안다고 가정하면, 넓이 구하는 공식은 다음과 같이 정리할 수 있습니다.

위 식은 헤론의 공식이라고 알려진 삼각형 넓이 구하는 식입니다. 이 식은 다음과 같은 방법으로 유도할 수 있습니다.

다른 방법도 몇 가지 있지만, 이번 글에서 사용하는 방법은 삼각함수를 이용하는 방법입니다. 따라서, 이것을 유도하기 위해서는 고등학교 수준의 삼각함수 내용을 알고 있어서 이해할 수 있습니다.

먼저, 삼각함수 사인(sin) 값을 이용해서 삼각형 구하는 공식과 코사인(cos) 제2법칙을 다음과 같이 정리할 수 있습니다.

위 식에서 A는 삼각형의 한 각이며, a는 각 A의 마주 보는 변, b와 c는 다른 두 변의 길이가 되겠습니다.

위의 코사인 제2법칙에 제시한 식은 다음과 같은 방식으로 정리할 수 있습니다. 오른쪽에 있는 -2bccosA를 등호 왼쪽으로 옮기고, a 제곱은 등호 오른쪽으로 넘겨서 cosA 값이 나오게 정리하면 다음과 같습니다.

x, y좌표에서 중심이 0이고 반지름이 1인 원의 방정식, 또는 삼각함수 그래프 등에서 sinA와 cosA를 각각 제곱해서 더하면 1이 된다는 사실을 가져와서 식을 다음과 같이 정리합니다.

이제 위에서 정리한 사인 A값을 이용한 삼각형 넓이 구하는 공식에 대입합니다.

위 식은 근호 안에 있는 분모 값이 제곱수 이므로 근호 밖으로 꺼낼 수 있으며, 이를 정리하면 다음과 같습니다.

위의 마지막 결과에서 근호 안을 보면 제곱수가 빼기로 연결되어 있습니다. 이제 중학교 때 배운 아래와 같은 인수분해 공식을 가져옵니다.

위 인수분해 식을 이용해서 근호 안에 있는 식을 인수 분해하고, 이를 다음과 같이 더 정리해 보겠습니다.

위 결과를 보면, 눈에 익숙한 제곱의 수 인수분해 형식이 보입니다. 이를 좀 더 편하게 보기 위해서 아래와 같이 정리하고 더 계산해 보겠습니다.

위와 같이 계산하고 보니, 근호 안에 제곱수의 뺄셈이 또 나옵니다. 각각 인수 분해하면 아래와 같이 정리할 수 있습니다.

아직 안 끝났습니다. 여기까지 계산했다면 8부 능선을 넘은 것입니다. 이제 위 식을 좀 더 간략하게 하기 위해서 삼각형이 세 변의 길의 합을 2로 나누어 보겠습니다. 이렇게 계산한 값을 s라고 놓고 정리하면 다음과 같습니다.

위 식을 바로 위의 식 결과의 값에 적용하기 위해 식을 다음과 같이 변경해서 정리해 봅니다.

이렇게 쓰고 보니, 이제 마지막으로 계산했던 식을 s의 값으로 정리하여 계산하면 좀 더 간단하게 계산됩니다. 그리고, 맨 처음 제시한 헤론의 공식이 나옵니다.

헤론의 공식을 다시 한번 정리하면서 글을 마칩니다.

**결과만 알고 과정을 모르는 아이에게 설명하기 위해서 쓴 글이므로 혹시 불편하신 분들이 계시다면 양해 부탁드립니다.

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