1+1=0 증명?

"수학은 약속입니다."

 

1+1=2를 증명하는 방법은 몇 가지 방법이 있을 수 있지만, 그것은 매우 어려울 수 있습니다. 그래서 저는 위에서 언급한 하나의 약속이라는 말로 1+1=2가 된다는 증명을 하지 않고 아이들에게 말해 버렸습니다.

 

그런데, 1+1=0이 될 수 있다는 것은 중학교에서 근호라는 개념을 배우면 다음과 같이 할 수 있을지 모릅니다.

 

먼저 위에서 그냥 약속이라고 언급한 1+1=2라는 개념을 가져옵니다.

 

 

초등학교에 들어가 전의 아이들도 알 수 있는 이 개념에서 양변에 1을 각각 빼주면 다음과 같은 식이 나옵니다.

 

 

다음부터는 중학교에서 근호의 개념을 배웠다고 가정하면, 위 식을 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

 

 

위 내용까지는 아주 그럴듯하게 아이가 이해합니다. 위의 식에서 약간 숫자를 변경해 보겠습니다. 루트 안의 값을 계산하면 1이 되는데, 저는 바로 1을 계산하지 않고, 괄호와 제곱으로 이루어진 수를 다음과 같이 전개를 해 봅니다. 제곱수의 전개식도 중학교 수준에서 알 수 있으므로 바로 결과만 아래에 표시해 봅니다.

 

 

위의 식까지는 전혀 문제가 없어 보입니다. 위의 식은 다음과 같이 써도 수학의 약속 상 틀리지 않을 것입니다. 0이라는 수학의 약속을 알고 있다는 전제하에 아래의 식으로 전개해도 결국엔 같은 위의 의미와 같은 뜻이 됩니다.

 

 

0이라는 숫자는 더하든 빼든 식에 영향을 주지 못하므로 루트 안에 0을 하나 더 쓰고 뺄셈 기호를 써서 다음과 같이 나타내 보겠습니다.

 

 

근호 안에 있는 0-0+1이 (0-1)의 제곱해서 전개한 것과 동일한 개념이 됩니다. 따라서 위의 근호 안의 숫자는 제곱으로 나타내면 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

 

 

위의 식까지 전혀 문제가 없어 보입니다. 이제 위 식을 다음과 같이 풀어 보겠습니다. 근호 안의 숫자가 제곱이므로 근호를 없애면 다음과 같이 쓸 수 있습니다.(?)

 

 

이제 1+1 =0이 된다는 것을 다 증명했습니다. 위의 식에서 좌변에 있는 -1을 우변으로 옮기면 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

 

 

위 식에서 좌변은 그대로 두고, 우변을 계산하면 우변은 0이 되므로 1+1=0이라는 사실이 드디어 증명되었습니다.

 

유레카~~~

 

 

이젠 같이 고등학교 때 배운 복소수 개념을 이용해서 1+1=0임을 증명해 보겠습니다.

 

 

여기까지 모든 개념을 수긍하고 왔다면, 1+1=2가 아닌 1+1=0이라는 새로운 증명을 보게 되었을 수도 있습니다. 하지만, 처음에 제시한 증명법은 절댓값과 루트 안의 값의 제곱 간의 관계를 제대로 이해하고 있다면 오류임을 알 수 있을 겁니다.

 

2번째 증명도 복소수의 개념과 루트의 개념, 즉 수학의 약속을 정확하게 이해하고 있으면 쉽게 오류임을 알 수 있을지도 모를 일입니다.

 

1+1=2라는 개념과 약속이 너무나 당연한데, 한두 개의 오개념을 이용해서 전혀 다른 우리의 약속을 깨는 그러한 개념이 나오게 되어 버렸습니다.

 

바르게 다스린다는 한자어를 굳이 쓰고 싶지는 않지만, 초등학생들도 아는 1+1=2라는 개념을 왜곡하여 굳이 1+1=0이라고 우기는 현실이 아쉬워 몇 자 적어봅니다. 오늘 글의 의도는 이 짧은 말로 대신해 볼까 합니다.

 

"1+1=0이라는 증명은 약속이 아니므로 굳이 할 필요가 없다."