3n+1 문제, 나에겐 세상에서 가장 어려운 수학문제

3n+1 문제에 관해서 들어본 적이 있나요?

 

 

개인적으로 비교적 이해하기 쉬운 수학적 개념이지만, 그 끝을 알 수 없기에 저에겐 세상에서 가장 어려운 수학 문제를 하나 소개해 볼까 합니다.

 

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10이라는 숫자가 있습니다.

 

이 숫자 가운데 하나를 하나 골라보도록 하겠습니다.

 

3을 골랐습니다.

 

이 숫자 3에 3을 곱한 후, 1을 더합니다.

 

(3x3) + 1 = 10

 

위에서 나온 숫자 10을 2로 나눕니다.

 

10 ÷ 2 = 5

 

위에서 나온 숫자 5에 3을 곱한 후, 1을 더합니다.

 

(5x3) + 1 = 16

 

16을 다시 2로 나눕니다.

 

16 ÷ 2 = 8

 

8을 2로 나눕니다.

 

8 ÷ 2 = 4

 

4를 2로 나눕니다.

 

4 ÷ 2 = 2

 

2를 2로 나눕니다.

 

2 ÷ 2 = 1

 

이제 다 구했습니다. 

 

처음 선택한 숫자 3은 홀수인데, 선택한 숫자가 홀수이면, 3을 곱한 후, 1을 더하고, 짝수이면 2로 나누는 것을 반복했습니다. 즉 3이라는 숫자를 이와 같은 방식으로 계산해보면 7번째에 1이 나온다는 것을 알 수 있습니다.

 

즉, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1이 되겠네요.

 

4를 선택해서 한번 계산해 볼까요?

 

4는 짝수이므로 2로 나눕니다. 3을 선택해서 계산했던 방법을 계속 반복하면 다음과 같습니다.

 

4 ÷ 2 = 2

2 ÷ 2 = 1

 

4는 2번 만에 바로 1이 나왔습니다.

 

이제 5를 선택해서 계산해 보겠습니다.

 

(5x3) + 1 = 16

16 ÷ 2 = 8

8 ÷ 2 = 4

4 ÷ 2 = 2

2 ÷ 2 = 1

 

7을 선택하면 어떻게 될까요?

 

(7x3) + 1 = 22

22 ÷ 2 = 11

(11x3) + 1 = 34

34 ÷ 2 = 17

(17x3) + 1 = 52

52 ÷ 2 = 26

26 ÷ 2 = 13

(13x3) + 1 = 40

40 ÷ 2 = 20

20 ÷ 2 = 10

10 ÷ 2 = 5

(5x3) + 1 = 16

16 ÷ 2 = 8

8 ÷ 2 = 4

4 ÷ 2 = 2

2 ÷ 2 = 1

 

7을 선택하면 16번째 만에 1이 되었습니다. 또한 52까지 숫자가 커졌다가 다시 줄어든다는 것을 알 수 있습니다. 파란색 부분은 3을 선택했을 때와 공통적인 부분이 보이네요.

 

위의 문제의 형식은 독일의 수학자 로타르 콜라츠가 제시한 수학 문제의 하나로 그의 이름을 따서 콜라츠의 추측이라고 합니다.

 

자연수 중에서 하나를 선택해서 그 수가 홀수이면 3을 곱한 후 1을 더하고 (3n+1), 그 다음 숫자가 짝수면 2로 나누는  것을 반복하면 그 마지막 단계에서는 1이 될 것이라는 가정한 것을 콜라츠의 추측이라고 하며, 3n+1 문제 등으로 불립니다.

 

27이라는 숫자를 하면 몇 번째에 1이 될까요?

 

27은 111번째 계산에서 1이 되며, 77번째 계산에서 9232가 최고가 되었다가 그 계산한 값이 다시 급격히 줄어들어 결국엔 1이 됩니다.

 

계산한 값이 계속 커졌다가 어느 순간 갑자기 작아지는 모습이 우박 같다고 해서 이러한 수를 우박수라고도 합니다.

 

그렇다면, 자연수 모든 수가 위와 같은 방식으로 계산하면 결국엔 1이 계산될까요? 짐작하면 항상 그렇게 될 듯하지만, 이것의 반례를 찾기 위해 아직도 많은 사람이 노력하고 있다고 하니, 저에게는 비교적 인식하기 쉬운 수학 문제이지만, 가장 어려운 수학 문제가 되었습니다.

 

이 문제의 정의를 증명하거나 반례를 하나 찾는다고 해도, 이 문제는 계속 저에게는 가장 어려운 수학 문제로 남아 있을 듯합니다.

 

여러분이 알고 있는 세상에서 가장 어려운 수학 문제는 어떤 것이 있나요?