곱함수의 연속성 관련 문제 풀기

어떤 함수 f(x)가 x=a에서 연속이려면 보통 다음과 같은 3가지 조건을 만족해야 합니다.

 

1. x=a에서 f(x)가 정의되어야 한다. 즉 f(a)가 존재해야 한다.

 

2. a에서 극한값이 존재해야 한다. 즉,

 

이 말은 a에서 좌극한과 우극한 값이 같다는 것이며, 다음과 같이 다시 정리할 수 있다.

 

3. a에서 극한값 f(x)의 값과 f(a) 값이 같아야 한다.

 

위 3가지의 조건을 만족할 때, 함수 f(x)는 a에서 연속입니다. 이 정의는 함수의 연속성 관련 문제를 해결할 때 가장 기본이 되는 개념이며, 3번째 조건은 1, 2의 조건을 내포하고 있기는 하지만, 함수 연속성을 해결하기 위해서는 3가지 조건을 모두 검토하는 것이 필요합니다.

 

그렇다면, 두 함수의 곱의 연속성은 어떻게 해결할까요?

 

다른 두 함수 f(x)와 g(x)의 곱의 연속성을 파악하는 경우의 수를 알아보도록 하겠습니다.

 

1) x=a에서 f(x)g(x)가 정의되어야 한다. 즉 f(a)g(a)가 존재해야 한다.

 

2) a에서 극한값이 존재해야 한다.

 

3) a에서 극한값 f(x)g(x)의 값과 f(a)g(a) 값이 같아야 한다.

 

따라서 곱함수의 연속성은 두 함수의 연속성 여부에 따라 다음과 같이 정리할 수 있습니다.

 

∎ 두 함수가 모두 연속인 경우

위 1~3번 조건을 모두 만족하므로 두 함수의 곱셈은 연속함수가 됩니다.

 

∎ 두 함수 중에서 하나만 연속인 경우

만약에 x = a에서 f(x)가 연속함수이고 g(x) 함수가 불연속 함수이면 f(a)는 존재하고, g(a)는 존재하지 않기 때문에 f(a)g(a)가 연속이 되려면 위 2), 3) 연속 조건에 의해서 g(a)는 불연속으로 값을 정의할 수 없기에 f(a) = 0이 되어야 합니다.

 

반대로 x = a에서 f(x)가 불연속 함수이고 g(x) 함수가 연속함수이면 f(a)는 존재하지 않고, g(a)는 존재하기 때문에 f(a)g(a)가 연속이 되려면 위 2), 3) 연속 조건에 의해서 f(a)는 불연속으로 값을 정의할 수 없기에 g(a) = 0이 되어야 합니다.

 

1. x = a에서 f(x)가 연속이고 g(x)가 불연속이면 두 함수의 곱 f(x)g(x)가 f(a) = 0이 되어야 연속이 됩니다.

 

2. x = a에서 f(x)가 불연속이고 g(x)가 연속이면 두 함수의 곱 f(x)g(x)는 g(a) = 0이 되어야 연속이 됩니다.

 

∎ 두 함수 모두 불연속인 경우 이 경우는 함수에 따라서 곱함수의 연속성 여부를 직접 계산해 봐야 알 수 있습니다.

 

2015년 7월 모의고사 문제를 통해서 좀 더 알아보도록 하겠습니다.

 

∎ 문제

 

-1이 아닌 실수 a에 대하여 함수 f(x)가

일 때, 함수 g(x) = f(x)f(x-1)이 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 a의 값은?

 

 

∎ 문제 풀이

 

1. g(x)가 f(x)와 f(x-1)의 곱이고, f(x)를 x =1만큼 이동시킨 f(x-1)는 다음과 같습니다.

 

조건에서 f(x)는 a가 -1이 아니라고 했으므로 x=0에서 f(x)는 연속이 아닙니다. 그런데 f(x-1)은 1보다 같거나 작은 범위에서 -x이므로 x=0일 때 f(0-1) = 0이 됩니다. 즉 f(-1) =0이 되는 것이지요. 또한, f(x) = -x-1의 식에서 x = -1이면 그 값은 0이 됩니다.

 

따라서 g(x) = f(x)f(x-1)에서 x=0일 때 f(x)는 불연속, f(x-1)의 값은 0이므로 g(x)는 x=0일 때 연속이 되겠습니다.

 

또한, f(x-1)은 x = 1일 때 불연속이 됩니다. 따라서 g(x) = f(x)f(x-1)가 x=1에서 연속이 되려면 f(x)는 x = 1일 때, 그 값이 0이 되어야겠네요.

 

x=1일 때, f(x) = 2x+a (x > 0)는 0이 되어야 하므로 f(1) = 2 + a = 0입니다. 따라서 a = -2가 구하고자 하는 답이 되겠습니다.

 

*이 문제는 f(x)가 x가 0이거나 작을 때는 연속, x가 0보다 클 때 연속인 일차함수이므로 위와 같은 방식으로 해결해도 되겠습니다.