아름다운 3차 함수 비율 관계와 3차 함수 그래프 개형

3차 함수 그래프가 아름답다고요?

 

전혀 그렇지 않을 수 있어요. 하지만, 수능 수학 문제 중에서 3차 함수 비율 관계를 알고 있어야 보다 쉽게 접근하거나 쉽게 해결할 수 있는 경우가 많아서 이 글을 쓰게 되었습니다. 이렇게 쓰고 보니, 3차 함수라는 것이 아름답게 보일 수도 있다는 생각이 들게 되었습니다.

 

이를 정리하면서 고민이 많이 듭니다. 저는 수학 전공도 아니고, 문과 출신이며, 단지 그냥 수학 문제 해결하고 푸는 것에 약간의 관심을 가지고 있는 일반인이기 때문입니다.

 

중고등학교 수학 교육 과정을 살펴보면 3차 함수 비율 관계는 언급되어 있지 않습니다. 따라서 이 비율 관계를 알지 못해도 수학 문제를 해결할 수 있을 것입니다. 하지만, 이 비율 관계를 알고 있다면, 그것이 왜 그런지는 몰라도 문제를 해결하는 데 도움이 되고 경우에 따라서는 시간이 단축될 수 있을 것이기에 수능을 준비하는 수험생이라면 결과라도 알고 있는 것이 도움이 될 듯합니다.

 

■ 3차 함수 그래프 유형

 

▪ 최고차항의 계수가 양수인 3차 함수 그래프 유형

 

1. 맨 왼쪽 그래프는 3차 함수가 위로 볼록, 아래로 볼록한 부분이 모두 나타난 유형이며, 2번째 그래프는 우로 볼록, 아래로 볼록한 부분이 없지만 변곡점에서 접선의 기울기가 0인 유형이며, 3번째 유형은 변곡점에서 접선의 기울기가 0보다 큰 유형이 됩니다.

 

2. 이 3가지 그래프 유형을 f'(x) =0인 2차 함수 그래프와의 관계로 나타내면 다음과 같습니다.

 

첫 번째는 f'(x) =0이 서로 다른 두 실근을 가지는 경우며, 이를 다른 말로 하면 f'(x)는 판별식이 0보다 크다이며, x축과 서로 다른 교점이 2개 있다는 말이 됩니다.

 

두 번째는 f'(x) = 0이 중근을 가지는 경우며, 판별식은 0, x축과 교점이 1개 있다는 말이 됩니다.

 

세 번째는 f'(x)=0이 근을 갖지 않은 경우며, 판별식은 0보다 작으며, x축과는 만나지 않는다는 뜻이 되겠습니다.

 

 

▪ 최고차항의 계수가 음수인 3차 함수 그래프 유형

 

최고차항의 계수가 음수인 3차 함수 그래프 유형은 위에서 말한 그래프를 x축을 기준으로 회전시키면 다음과 같은 유형이 되겠습니다.

 

■ 3차 함수의 비율 관계

위에서 언급한 3차 함수 그래프 중에서 위로 볼록하고 아래로 볼록한 3차 함수는 몇 가지 특징이 있습니다. 다음은 맨 처음 언급한 그래프를 기준으로 3차 함수 개형에서 극댓값과 극솟값의 x좌표에서 기울기가 0인 접선을 그으면 각각의 점 사이의 비율 관계는 다음과 같습니다. 

 

위 그래프는 많은 것을 알려주고 있는데, 이것을 정리하면 다음과 같습니다.

 

1. 2차 함수의 두 근에서 3차 함수는 극값을 가진다.

2. 2차 함수 꼭짓점의 x좌표에서 3차 함수는 변곡점을 가진다.

3. 극댓값과 변곡점, 변곡점과 극솟값, 극솟값과 접선이 다른 점과 만나는 곳까지 거리 비는 1:1:1이 된다.

4. 극댓값과 변곡점, 극댓값과 극솟값의 거리 비는 1:2가 됩니다.

 

.... 등등으로 표현할 수 있겠습니다.

 

위 내용은 변곡점에서 x축과 평행한 선을 그었을 때, 극댓값에서 y축과 평행한 선을 그었을 때 만나는 곳까지의 길이와 나머지 3차 함수와 만나는 곳까지의 길이 비는 1 대 루트 3이 된다는 것을 보여주고 있습니다.

 

이제 마지막으로 다음과 같은 사실도 하나 알고 있으면 도움이 되겠습니다. 바로 3차 함수의 극댓값가 극솟값의 차이입니다.

공식으로 나타내면 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

 

위에서 언급한 내용의 증명은 다음 기회로 미루면서, 오늘은 여기까지입니다.