2022 수능 수학 22번 해설, 풀이

2022학년도 대학수학 능력 시험 수학 영어 공통 22번 문항에 관한 해설입니다.

 

1. f(x)는 최고차항의 계수가 1/2인 삼차 함수라고 했으므로 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

2. f'(x) = 0이라고 했으므로 f'(x)는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

 

3. 이 f'(x)가 닫힌구간 [t, t+2]에서 갖는 실근의 개수가 g(t)라고 했으므로 t와 t+2는 차이가 2만큼 난다(또는, 구간 사이의 거리는 2)는 뜻입니다.

 

그런데, 조건 (나) g(f(1)) = g(f(4)) = 2는 g(t)가 t = f(1), t = f(4)일 때, 실근의 개수가 2개라는 말이므로 결국엔 위의 2, 3에서 f'(x)= 0의 근이 두 개가 있다는 말이 되고, 이를 1번의 3차식에 적용해 보면, f(x)는 극대, 극소를 가지는 그래프가 된다고 할 수 있습니다.

 

4. f'(x)의 근이 2개이고, [t, t+2]의 구간 사이의 거리가 2이므로 f'(x)의 두 근 사이에서 g(t)의 실근의 개수는 t의 값에 따라 0개, 또는 1개, 또는 2개가 될 수 있습니다.

 

첫 번째, f'(x)의 두 근이 [t, t+2] 구간보다 작은 위치에 있다면, g(t)의 개수는 2개가 될 수 있습니다.

 

조건 (가)에서 모든 실수 a에 대하여 g(t)의 우 극한값과 좌 극한값의 합이 2보다 작거나 같다고 했는데, [t, t+1]의 구간 안에는 어떤 실수 a에 대하여 g(t)의 개수가 2개라면, 우 극한 개수가 2개, 좌 극한 개수가 2개가 존재한다는 말이 되고, 이 두 값의 합이 4가 됩니다. 따라서 조건에 위배됩니다.

 

두 번째, f'(x)의 두 근이 [t, t+2] 구간보다 큰 위치에 있다면, g(t)의 개수는 0개, 또는 1개가 될 수 있지만 2개는 존재하지 않게 됩니다. 따라서 조건 (나) g(f(1)) = g(f(4)) = 2는 g(t)가 t = f(1), t = f(4)일 때, 실근의 개수가 2개라는 조건에 위배됩니다.

 

세 번째, f'(x)의 두 근이 [t, t+2] 구간과 일치한다면, g(t)의 개수는 2개가 될 수 있고, 이는 조건 (나) g(f(1)) = g(f(4)) = 2는 g(t)가 t = f(1), t = f(4)일 때, 실근의 개수가 2개라는 조건에 부합되고, 모든 실수 a에 대하여 g(t)의 우 극한값과 좌 극한값은 각각 1개 이하가 되므로 이는 합이 2보다 작거나 같다는 조건도 만족합니다.

 

5. 이제 위의 세 번째의 설명에서 f'(x)의 한 근을 p라고 하면 다른 한 근은 p+2가 되고, 삼차 함수 f(x)의 극대, 극소의 x좌표의 차이가 2가 됩니다.

 

6. g(f(1)) = g(f(4)) = 2가 되려면 f(1)과 f(4)의 값은 같다는 것을 예상할 수 있습니다. 왜냐하면, 극댓값, 극솟값의 x 값이 2 차이가 나고, f(1)과 f(4)에서 x의 값 1과 4의 차이가 3이므로 3차 함수 비율 관계에 의해서 f(1)과 f(4)는 같다고 볼 수 있습니다.

 

 

즉, f(1) = f(4) = 1이 됩니다.

 

이유는 다음 글을 참고하면 도움이 되겠습니다.

 

https://nous-temperature.tistory.com/639

삼차함수 극대 극소 차 공식

 

7. 이 식을 함수로 나타내면 다음과 같습니다.

 

8. 이제 사용하지 않은 조건 g(f(0) = 1이 성립하는지 확인합니다.

 

7에서 f(0)은 다음과 같습니다.

 

g(-1)은 [t, t+2]의 구간 즉 [-1, 1] 사이에서 실근의 개수는 그래프를 확인해 보면 극댓값이 1개가 존재하므로 주어진 조건을 만족합니다.

 

9. 따라서 f(x)는 7에서 구한 함수가 됩니다.

 

10. f(5)의 값을 구하라고 했으므로 9의 식에 x대신에 5를 대입하면 문제의 답이 나옵니다.

 

 11. 위의 5와 6에서 그래프가 다음 경우도 따져보아야 합니다.

 

12. 위 경우라면 함수 f(x)는 다음과 같이 쓸 수 있겠네요.

 

13. g(f(0) = 1을 만족하는지를 알아보려면, f(0)의 값을 구하면, -6이 되고 g(-6)은 [t, t+2]의 구간 즉 [-6, -4] 사이에서 근이 존재하지 않으므로 성립하지 않습니다. 따라서 12에서 구한 함수는 될 수가 없겠네요.

 

** 다음 글은 위 내용을 이해하는 데, 약간의 도움이 될 수 있을 듯하여 추가해 봅니다.

 

https://nous-temperature.tistory.com/638

아름다운 3차 함수 비율 관계와 3차 함수 그래프 유형

 

** 이와 비슷한 3차 함수 그래프 유형을 이용해서 해결하는 문제는 극댓값과 극소값을 모두 가지는 그래프가 되었던 것 같습니다. 따라서 시간이 촉박하다면, 3차 함수 그래프 유형 3가지(3차 계수가 양수)를 먼저 그려놓고 문제의 조건을 살펴보는 것이 도움이 될 수도 있겠습니다.