삼차함수 극대 극소 차 공식

어떤 삼차함수가 서로 점 알파와 베타에서 극댓값과 극솟값을 가질 때, 극댓값과 극솟값의 차이는 다음과 같습니다.

 

이것을 증명하는 것은 그리 복잡해 보이지 않습니다.

 

다음 글에서 정리한 이차함수 넓이 공식은 미리 배웠다는 가정하에서 말이죠.

 

삼차함수 극댓값과 극솟값을 비교해 보면 매우 비슷합니다. 분모가 2, 6으로 다를 뿐 나머지는 똑같습니다. 삼차함수 극대와 극소 차이값을 정리하는 데는 위에서 언급한 이차함수 넓이 공식을 일단 안다는 전제하에 시작하겠습니다.

 

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이차함수 넓이 공식, 이차함수 직선 넓이

 

삼차함수는 일반적으로 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

 

이 삼차함수를 한번 미분하면 다음과 같이 쓸 수 있겠네요.

 

삼차함수가 알파와 베타에서 극댓값과 극솟값을 가진다면 위에서 언급한 한번 미분한 값은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

 

이 삼차함수가 알파와 베타에서 극댓값과 극솟값이 존재한다면, 그 값의 차이는 f'(x)를 알파와 베타까지 적분한 값과 같은 말이 됩니다. 그래서 다음과 같이 전개할 수 있겠네요.

 

위 식에서 3은 양수이므로 절댓값을 정리하면 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

 

그런데 위 식을 자세히 보면 절댓값 안에 있는 식은 이차함수 넓이를 구하는 말과 같으므로 이 식은 다음과 같이 정리할 수 있으므로 극댓값과 극솟값의 차이를 다음과 같이 구할 수 있습니다.

 

가끔은 삼차함수가 알파와 베타에서 극댓값과 극솟값을 가질 때, 그 차이를 나타내는 식을 안다면 수학 문제를 해결하는 데 약간의 도움은 될 수 있을 것입니다.

 

이 식은 2022학년도 수능 수학 22번을 해결하는 데 도움이 될 수 있습니다. 자세한 것은 제가 쓴 해당 글을 참고하시면 됩니다. 

 

삼차함수와 이차함수의 그래프 개형이 위와 같을 때, 극댓값과 극솟값 차이는 위 공식에 대입하면, 2가 된다는 것을 알 수 있으며, 이는 수능 수학 22번을 해결하는 데, 도움이 될 수 있습니다.

 

이상으로 삼차함수 극값이 차이에 관한 글을 마칩니다.