삼차방정식 근과 계수와의 관계, 나눗셈 활용 - 삼차방정식과 한 근이 복소수일 때 계산 문제

고등학교 수학 문제 풀이입니다.

 

다음 삼차방정식과 한 복소수 근이 주어진 문제를 해결해 보겠습니다.

 

 

위 문제를 해결하는 방법은 여러 가지가 있습니다.

 

제가 이러한 문제를 해결하는 방법을 두 가지 제시해 보겠습니다.

 

먼저, 삼차방정식의 한 근이 1-i라고 했으므로, 다른 한 근은 1+i가 되어야 합니다.

 

삼차방정식에서 복소수로 이루어진 근이 한 개 존재하면, 다른 근은 그 복소수의 켤레가 다른 한 근이 되며, 다른 한 근을 실수 근이 됩니다.

 

아래를 계산을 보면 이유 중의 하나를 알 수 있습니다.

 

 

따라서 제시된 문제의 삼차방정식은 두 근이 1-i, 1+i이 되고, 다른 한 근은 실수 근이 되어야 합니다.

 

삼차방정식의 세 근을 알 때, 그 계수는 근과의 관계를 통해서 알 수 있습니다. 다음과 같은 식은 세 근과 삼차방정식과의 관계를 나타냅니다.

 

위 식에서 알 수 있는 것은 a = 1이면, 세 근을 더한 값은 x 제곱의 계수가 되고, 세 근을 곱하면 상수항이 된다는 것을 알 수 있습니다. 부호는 서로 반대로 말이죠.

 

다시 한번 위에서 제시한 문제를 볼까요?

 

 

위 문제에서 한 근이 1-i이므로 다른 한 근은 1+i가 되고, 이 두 근을 곱하면 2가 됩니다. 

 

만약에 실수 근을 p라고 가정한다면, 세 근을 곱한 값 2p = 2가 되어야 하므로 다른 한 근은 1이 됩니다.

 

따라서 실수근 1을 문제 식에 그대로 대입하면, 1+a+b-2=0이 되어야 합니다. 따라서 a+b=1이 되겠습니다. 

 

a와 b의 값을 모두 구하려면 다음 절차에 따라 구하면 됩니다.

 

세 근은 1-i, 1+i, 1이 되어야 하지요. 이 근을 모두 더하면 3이 되겠네요.

 

따라서 위 방정식에서 세 근을 더한 값이므로 -a이므로 -a = 3이 성립해야 하므로 a = -3이 되겠습니다.

 

또한 실근이 1이므로 주어진 방정식에서 x =1을 대입하면 성립해야 하므로, 1+a+b-2 = 0이 되어야 합니다.

 

a = -3이므로 1-3+b-2= 0이 되어야 하고, b = 4가 됩니다.

 

따라서 문제에서 구하고자 하는 a+b = -3+4 = 1이 되겠습니다.

 

이 문제는 다항식의 나눗셈을 이용해서 해결해도 됩니다. 다항식 나눗셈은 x는 쓰지 않고 계수만 써서 해도 된다는 이전 포스팅을 참고해 보세요.

 

nous-temperature.tistory.com/426

다항식의 나눗셈, 이렇게 풀어보세요. [고1 수준]

 

1. 먼저, 근이 1-i, 1+i인 이차방정식은 위에서 구한 것을 참고하면 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

 

2. 이제 주어진 방정식을 위 식으로 나눕니다.

 

 

위 나눗셈에서 b+2a+2 = 0, -2a-6 =0이 되어야 하므로, 이 식을 계산하면 a = -3, b = 4가 됩니다. 결국 위에서 구한 것과 동일한 값이 되었네요.

 

이러한 유형의 문제는 문제의 특성에 따라 첫 번째 방식이나 두 번째 방식 중에서 하나로 해결하면 비교적 쉽게 접근할 수 있으리라 봅니다.

 

오늘 글을 마칩니다.