이차식 나머지 정리, 이차식 나머지 쉽게 구하기

그동안 나머지 정리에 관한 몇 개의 포스팅을 했지만, 기본 문제가 아닌 응용 문제가 대부분이어서 이해할 수 없다는 아이의 말을 듣고, 이번 시간에는 나머지 정리에 관한 제가 생각하기에는 아주 기초적인 문제를 해결해 보겠습니다.

 

 

다음 수학 문제를 풀어보겠습니다.

 

다항식 f(x)를 x+2로 나눈 나머지는 6이고, x-3으로 나눈 나머지는 16이다. f(x)를 (x+2)(x-3)으로 나눈 나머지를 구하여라.

 

위 문제를 해결하기 위해서 자연수 나눗셈에 관한 것을 하나 가져와 봅니다. 15를 2로 나누면 몫은 7이고 나머지는 1입니다. 이 말을 식으로 쓰면 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

 

15 = (2 ×7) + 1

 

위 식을 다시 정리하면 15를 2로 나누면 몫이 7이고 나머지가 1이다는 말과 같습니다.

 

위에서 15 대신에 f(x)로 쓰고, 2 대신에 x+2로 쓰고, 나머지 1 대신에 6으로 바꾸어 쓰고, 몫은 모르므로 Q1(x)라고 한다면 f(x)를 x+2로 나눈 나머지가 6이다는 말은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

 

f(x) = (x+2)Q1(x) + 6

 

위 식에서 x = -2를 대입하면 f(-2) = 6이 됩니다.

 

또한 x-3으로 나눈 나머지는 16이라는 식은 몫을 Q2(x)라고 한다면 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

 

f(x) = (x-３)Q２(x) + 16

 

위 식에 x = 3을 대입하면 f(３) = 16이 됩니다.

 

이제 f(x)를 (x+2)(x-3)으로 나눈 나머지를 구하는 문제는 몫을 Q(x)로 하고, 나머지를 R(x)로 한다면 다음과 같은 식으로 쓸 수 있습니다.

 

f(x) = (x+2)(x-3)Q(x) + R(x)

 

이제 f(x)를 (x+2)(x-3)으로 나눈 나머지를 구하는 문제는 몫을 Q(x)로 하고, 나머지를 R(x)로 한다면 다음과 같은 식으로 쓸 수 있습니다.

 

f(x) = (x+2)(x-3)Q(x) + R(x)

 

위의 식에서 2차식으로 나누었으므로 나머지 R(x)는 1차식 이하가 되어야 하므로 R(x) = ax+b로 쓸 수 있습니다.

 

f(x) = (x+2)(x-3)Q(x) + ax + b

 

f(-2) = 6, f(３) = 16이므로 위 식에 x = -2, x = 3을 대입하고, a, b의 값을 구하면 됩니다. 이렇게 푸는 것이 가장 기본적인 방법입니다.

 

하지만, 이와 같은 방정식으로 풀면 다음과 같은 방식으로 풀 때보다, 시간이 조금 더 걸립니다. 제가 제 블로그에서 몇 번 언급한 적이 있지만, 저라면 시간을 절약하기 위해 다음과 같이 식을 쓰고 해결할 것입니다,

 

f(x) = (x+2)(x-3)Q(x) + a(x+2) + 6 또는,

f(x) = (x+2)(x-3)Q(x) + a(x-3) + 16

 

이렇게 식을 쓰면 위에서 나머지를 ax + b로 놓고 푸는 것에 비해서 a만 알면 되기 때문에 시간을 더 절약할 수 있습니다, 이와 같은 식이 성립하는 이유는 다른 글에서 언급했지만 간략하게 설명하면 결국 동일한 인수라는 것은 결국 같은 차수가 있으면 그것도 또한 같은 인수를 가지기 때문입니다.

 

f(x) = (x+2)(x-3)Q(x) + a(x+2) + 6

 

위 식은 결국 x+2로 나누었을 때, 나머지가 6이다는 다른 표현이며, x-3으로 나눈 나머지가 16이므로 위 식에 x-3을 대입하면 앞에는 모두 0이 되고 a(3+2) + 6 = 16이 되므로 5a = 10, 따라서 a = 2가 됩니다. 따라서 나머지는 2(x+2) + 6이 됩니다.

 

만약에 f(x) = (x+2)(x-3)Q(x) + a(x-3) + 16라는 식으로 정리했으면, x = -2를 대입하면 a(-2-3) + 16 = 6이므로 -5a = -10, a = 2가 되고, 나머지는 2(x-3) + 16이 됩니다.

 

어떤 식으로 풀어도 답은 같습니다. 즉, 2(x+2) + 6 = 2(x-3) + 16 = 2x+10

 

youtu.be/xSpRjvgJ-8Q

이차식으로 나눈 나머지를 구하는 문제 설명을 마칩니다.