루트3 근사값 계산법과 무리수 증명 하기

루트 3의 근삿값이 얼마나 되는지 계산해보고, 루트 3이 무리수임을 증명해 보도록 하겠습니다. 먼저, 루트 3의 근삿값을 계산하려면, 이전 글에서 제시한 루트 2의 근삿값을 계산하는 방법을 참고해 보세요. 절차는 둘 다 똑같습니다.

 

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한평 크기, 면적은 길이가 몇 미터? 루트 2 값 계산으로 알아보기

 

위 글에서 루트 2의 근삿값을 계산하는 방법에서 루트 안에 3을 쓰면 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

 

 

위 식에서 네모 안에는 무엇이 들어가야 할까요?

 

오른쪽 아래에 17600이 있고, 왼쪽에는 3464□가 있는데  몫에 있는 네모 안에 똑같은 수를 넣어서 17600이 넘지 않은 수는 없으므로 위 네모 안에는 0이 들어가야 합니다. 혹시 진행하다가 위와 같은 경우가 생긴다면, 나눗셈을 할 때와 마찬가지로 0을 쓰고, 진행하면 됩니다. 루트의 근삿값을 구할 때는 보통 0을 하나 쓰는 것이 아니라 이전 글에서 밝힌 것처럼 10의 제곱수가 되도록 0을 두 개 쓰면 됩니다. 그러면 아래와 같이 더 진행할 수 있습니다.

 

 

위의 식에서 네모는 무엇이 들어갈까요? 네, 그렇습니다. 5가 들어가면 되겠네요. 루트 3의 근삿값은 1.73205.... 가 되겠네요. 참고로 루트 3은 유리수가 아닌 무리수입니다. 그 이유를 증명해 볼까요? 루트 2가 무리수임을 증명하는 절차와 똑같이 증명할 수 있습니다. 미리 루트 2가 무리수인 이유를 한번 살펴보세요.

 

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루트 2 무리수 증명

 

먼저, 루트 3이 유리수라고 가정하면 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

 

 

위아래 식을 양변 제곱하면 다음과 같습니다.

 

위아래 식은 여러 가지 방법으로 다음과 같은 식으로 쓸 수 있습니다. 양변에 b제곱을 곱하던지, 아니면 3은 1분의 3이므로 서로 엇갈리게 곱하면 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

 

 

위 식에서 a 제곱은 3의 배수가 됩니다. 따라서 a는 3의 배수가 됩니다.

 

a가 3의 배수이므로 a를 3p로 쓸 수 있으며, 이를 위 식에 대입해서 전개하면 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

 

 

위 식에서 b 제곱은 3의 배수가 됩니다. 따라서 b는 3의 배수가 됩니다.

 

여기까지 계산하고 보니, a도 3의 배수, b도 3의 배수가 되었습니다. 따라서, a/b는 약분되지 않는 분수라고 가정했는데, a와 b가 모두 3의 배수로 약분될 수 있으므로, 즉, a와 b가 서로소라는 전재에 위배됩니다. 따라서 루트 3은 유리수가 아니며 무리수인 것입니다.

 

루트 2와 루트 3이 무리수임을 증명하는 절차는 루트 5, 루트 7, 루트 10, 루트 11, 루트 13 등을 증명하는 것과 거의 유사합니다. 루트 5는 a, b가 모두 5의 배수, 루트 7의 7의 배수, 루트 10은 10의 배수, 루트 11은 11의 배수, 루트 13은 13의 배수가 될 것이므로 모두 전제를 위반하므로 무리수가 될 것입니다. 루트 5 이상은 직접 한번 해 보시기 바랍니다.

 

이상으로 오늘 글을 마칩니다.