점과 직선 사이의 거리 공식 증명

점(x₁, y₁)과 직선(ax+by+c=0)까지 가장 짧은 거리(d) 공식은 보통 다음과 같이 정리할 수 있습니다.

 

 

여러 가지 방법이 있지만, 이 공식이 어떻게 나왔는지 고등학교 1학년 수학 수준에서 공식을 증명해 보도록 하겠습니다.

 

좌표 평면 위의 한 점 A(x₁, y₁)와 직선 ax+by+c=0이 있다고 할 때, 점 A와 직선까지의 최단 거리는 점 A에서 직선에 수직선을 내렸을 때, 그 직선 위의 점 B(x₂, y₂)까지의 거리라고 할 수 있습니다.

 

위 그래프에서 선분 AB의 기울기는 다음과 같습니다. 직선의 기울기는 x의 증가량 분의 y의 증가량이기 때문이죠.

 

직선 ax+by+c=0의 기울기는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

 

두 직선이 수직으로 만날 때, 두 직선의 기울기 곱은 -1이 되어야 하므로 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

 

위 식을 더 계산해서 정리하면 다음과 같습니다.

 

또한, 점 B(x₂, y₂)는 직선 ax+by+c =0 위의 점이므로, x = x₂, y=y₂을 대입해도 성립해야 하므로 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

 

위 식을 약간 변형해 보겠습니다. 앞에서 두 직선이 수직일 때, 기울기의 관계식에 a(x₂-x₁), b(y₂-y₁)이 있으므로 이것이 나오도록 변형하는 것입니다. 다음과 같이 같은 수를 더해주고 빼주면서요.

 

위 식을 a와 b로 묶어서 정리하면 다음과 같습니다. 

 

위 계산식과 앞서 구한 식을 연립해서 x₂-x₁, y₂-y₁의 값을 구해 줍니다.

 

x₂-x₁을 구하기 위해, 아래 식에 b/a를 곱하고 위의 식과 더해 줍니다.

 

 

y₂-y₁을 구하기 위해, 위의 식에 b/a를 곱하고 두 식을 빼줍니다.

 

그러면 다음과 같은 식이 나옵니다.

 

정리하면 다음과 같습니다.

 

그래프에서 선분 AB의 길이는 직각삼각형의 빗변의 길이이므로 이 빗변을 d라고 하면 피타고라스 정리에 의해서 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

 

따라서, d는 다음과 같이 정리할 수 있습니다.

 

이상으로 점과 직선 사이의 거리 공식에 관해서 알아보았습니다.