2023 6월 모의고사 수학 15번 고3, 등차 수열의 점화식 이해

2022년 6월 9일 실시된 2023학년도 한국교육과정평가원 주관 고3 6월 모의고사 수학 15번 풀이법을 소개합니다. 문제에서 다음과 같은 수열이 제시되어 있습니다. 조건은 k는 자연수, a₁= 0, a₂₂=0가 되는 모든 k값의 합 구하기.

 

 

위 식은 1/k+1, -1/k가 숫자가 아닌 문자 k가 있을 뿐, 등차수열의 귀납적 정의, 즉 등차수열의 점화식이 될 수 있습니다. 즉, a_n을 좌변으로 이항하면 등차수열 형식으로 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

 

위 수열 {a_n}은 n+1항에서 n항을 뺀 값이 n항이 0보다 작거난 같으면 1/k+1을 계산하고, n항이 0보다 크면 -1/k을 계산하라는 의미로 볼 수 있습니다. 또한, 위 식은 이 등차수열이 되는데, 공차가 각각 1/k+1, -1/k이므로 수열의 점화식을 정리하면 이 수열의 일반항은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

 

a₁ = 0이므로 수열의 일반항 a_n은 다음과 같습니다.

 

위 식에서 1항부터 22항까지 하나씩 계산하면 아래와 같이 정리할 수 있겠네요.

이 수열의 22번째 항은 0이므로 1/k+2에 바로 전항인 21을 곱해주는 것을 알 수 있습니다. 21항은 1/k+1의 몇 개나 더해져 있는지, -1/k가 얼마나 더해 있는지를 파악하기 위해, 1/k+1을 더한 횟수를 a라 하고, -1/k을 더한 횟수를 b라고 한다면 다음과 같은 식이 성립합니다.

 

또한, a₂₂=0이므로 1/k+1을 a번 더해주고 -1/k을 b번만큼 더하면 0이 되어야 하므로 다음과 같은 식을 쓸 수 있습니다.

 

a+b=21에서 a=21-b이므로 이 a를 위 식에 대입하면 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

 

위 식을 k에 관한 식으로 더 정리해 보겠습니다.

 

이제 거의 다 구한 듯합니다. a, b의 값은 횟수이므로 자연수이고, 조건에서 k도 자연수라고 했고, a+b=21이므로 b 대신에 1, 2, 3, 4, 5, 6을 대입하면 k는 자연수가 아니므로 안 되고, b=7이면 k=1이 됩니다. 또한 b=8이어도 되지 않겠네요. b=9면, k=3가 됩니다. b=10이면 k=10이 되겠네요. b가 11 이상이면 분모가 음수가 되므로 더 이상을 k값이 나오지 않겠네요. 그래서 k의 값은 1, 3, 10으로 모두 계산이 끝났습니다.