피보나치수열의 일반항 구하기

피보나치 수열이라는 재미있는 수열이 있습니다.

 

관련 포스팅을 한 적이 있는데 이번 시간에는 피보나치수열의 특징이 아닌 일반항을 구해보도록 하겠습니다.

 

먼저, 피보나치 수열이 무엇인지 잠시 다시 한번 언급해 보도록 하겠습니다.

 

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,...처럼 이루어진 수열을 말합니다.

 

이 수열을 자세히 보면, 뒤에 있는  항은 바로 앞에 있는 두 개의 항의 합으로 이루어져 있습니다. 이전 관련 포스팅에서  언급한 것처럼 가장 자연적인 수열이라고 할 수 있습니다.

 

이 수열의 일반항은 어떻게 구할까요?

 

21은 앞에 나온 8과 13을 더해서 나온 수인데, 이를 하나의 문자 식으로 쓰면 첫 번째 앞에 있는 항을 a_n이라고 하면, 두 번째 항은 a_n+1이 되고, 세 번째 항은 a_n+2라고 할 수 있는데, a_n+2 = a_n+1 + a_n으로 나타낼 수 있습니다.

 

어디서 많이 본 수열처럼 보이지 않나요? 오른쪽에  두 개의 항을 왼쪽으로 이항을 하면 다음과 같습니다.

 

맞습니다. 며칠 전에 썼던 저의 아래 글을 참고하면, 앞에 숫자만 다른 p+q+r ≠ 0인 수열이 되었습니다.

 

https://nous-temperature.tistory.com/674

수열의 귀납적 정의, 동차 선형 점화식 일반항 구하기

 

피보나치수열은 첫 번째 항은 1, 두 번째 항이 1이고, 위에서 제시한 식을 2차 방정식이라고 하면, 두 근은 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

 

한 근을 알파라고 하고, 다른 근을 베타라고 한다면, 알파와 베타는 다음과 같이 쓸 수 있겠네요.

이전 "수열이 귀납적 정의, 동차 선형 점화식 일반항 구하기"  글에서 두 근이 알파와 베타라고 했을 때 일반항은 다음과 같다고 계산했었습니다.

 

위 식의 알파와 베타에 앞에서 계산한 알파와 베타를 넣어서 계산하면 다음과 같이 정리할 수 있겠네요.

 

매우 복잡한 식이 나왔지만, 조금 인내를 가지고 하나씩 계산해 보도록 하겠습니다. 아래처럼 계산하니 조금씩 규칙성이 보이기 시작하는 듯합니다.

 

분자를 최대한 간단하게 더 계산해 보겠습니다.

 

이제 거의다 계산이 끝나 갑니다. 조금만 더 힘을 내 보자고요.

 

가장 자연을 닮았다고 하는 피보나치수열의 일반항은 다음과 같습니다.

 

아직 수열 관련해서 포스팅할 게 있습니다. p+q+r=0인 수열의 일반항 풀이가 며칠 이내에 곧 이어질 예정입니다.