이상한 나라의 수학자, 리만 가설, 파이송

"이상한 나라의 수학자"라는 영화를 최근에 보았습니다.

 

영화가 개봉된 것이 2022년 3월 9일이었는데, 영화관에서 관람하지 못하고, 넷플릭스를 통해서 보았습니다. 영화가 나왔을 때부터 수학에 약간의 관심이 있었기에 어떤 나라의 수학자 이야기일지 궁금해서 보고 싶었지만, 겨우 겨우 시간을 만들어서 최근에 보고야 말았습니다. 최민식 배우가 열연한 북한에서 건너온 리학성이라는 수학자와 어느 고등학생과의 만남을 다룬 이야기로 여러 가지 생각을 다시 한번 하게 된 영화였는데, 이번 글에서는 이 영화에 나온 여러 가지 수학 이야기를 전개해 볼까 합니다. 경우에 따라서는 이 글이 일명 스포일러가 될 수도 있기에 영화의 흥미를 더 만끽하고 싶다면, 아래의 글은 영화를 본 후에 읽기를 권합니다.

 

"리학성"

 

저는 이 수학자의 이름에서 이 영화의 소재를 유추할 수 있었습니다. 바로 영화의 한 소재인 세계적은 수학의 난제 중의 하나인 "리만 가설"을 증명한 사람으로 묘사되는데, 리만 가설의 "리"와 리학성의 "리"는 이 영화의 작가가 왜 이 수학자 이름을 북한에서 넘어온 수학자의 이름의 "성"으로 지었느지 연관성이 있어 보입니다.

 

"리만 가설"은 "리만 제타 추측"이라고도 불리며, "리만 제타 함수의 모든 자명하지 않은 영점의 실수부가 1/2(이분의 일)이라는 추측을 말합니다.

 

이 가설은 페르마 정리가 증명된 이후, 수학적 여러 가지 난제 중에서 저 같은 약간의 수학적 지식이 있으면 대강의 개념을 이해할 수 있기에 다른 문제보다도 우리에게 쉽게 다가오는 가설일 수 있다는 생각을 해 봅니다.

 

리만 가설은 소수에도 규칙이 있는가를 설명하는 개념입니다. 여기서 소수란 "1과 자기 자신만을 약수로 가지는 수로, 1과 자기 자신으로밖에 나누어 떨어지지 않고 자기 자신의 곱셈의 역수가 없는 수"로 정의되는데, 이는 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97,... 등의 수를 말합니다. 이 수의 규칙성을 찾기 위해서 오일러는 수많은 소수를 직접 계산으로 찾았지만, 이 수의 규칙을 찾을 수가 없었고, 특이한 식을 하나 발견하는데, 소수로 이루어진 공식을 찾게 됩니다. 다음과 같이 말이죠.

 

 

소수와 원주율을 사용한 위 공식에서 소수도 규칙이 있을 거란 생각을 할 수 있게 되었고, 이를 바탕으로 가우스라는 수학자가 소수의 개수 근삿값을 구하는 법을 발견했고, 가우스 제자인 리만이 여러 가지 조건을 만족하면 근삿값이 아닌 정확한 소수를 계산할 수 있다는 것을 알게 됩니다. 즉, 소수에 규칙이 있다고 말하게 되죠.

 

이를 바탕으로 리만 제타 함수의 두 근 사이의 거리가 u일 확률을 나타내는 식을 만들게 되는데, 이 식은 다음과 같습니다.

 

 

소수는 1과 자신만을 약수로 가지는 수로 물리학에서 더 이상 쪼갤 수 없는 최소의 단위인 "원자"와 연관이 있을 수 있음을 발견하게 됩니다. 

 

양자 역학에서 입자의 에너지 분포와 관련된 식, 두 입자의 에너지 차이가 r일 확률을 나타내는 식이 수학자와 물리학자가 우연히 만나 이야기하다가  위에서 말한 식과 일치한다는 것을 알게 되었다고 합니다.

 

 

이해할 수 없지만, 두 식에서 u와 r만 다를 뿐 식이 같다는 것에서 소수의 규칙성과 미시 세계가 연관이 있지 않을까 생각할 수 있게 됩니다. 즉, 리만 가설을 증명하면, 이 세계가 어떻게, 왜 만들어졌는지를 이해할 수 있을지도 모를 일이 되는 것이지요.

 

그래서, 리만 가설을 증명하면, 창조주의 방정식을 알 수 있게 되고, 우주가 만들어진 원리, 인간이 만들어진 원리 그런 수학적 원리를 알 수 있을 거라 생각하게 된다고 합니다.

 

이러한 가설을 증명하는 걸로 나오는 이 영화는  사실 리만 가설이 무엇인지 알려주지는 않습니다. 저도 여기까지 글을 쓰고 보니, 쓰긴 했지만, 이해하지 못한 것이 너무 많이 리만 가설에 관한 내용은 여기까지 할까 합니다.

 

아주 쉬운 삼각형  넓이를 계산하는  문제.

 

위 삼각형의 넓이는 30입니다. 결과만 알고자 한다면 그게 끝입니다. 하지만 위 조건을 만족하는 삼각형은 존재할 수 없으므로 넓이를 구할 수 없는 것이지요.

 

작년 말에 비슷한 내용을 포스팅한 적이 있는데, 영화를 보니, 영화처럼 누구나 알 수 있는 초등학교 삼각형 넓이를 이용해서 쓸 것을 약간 후회가 됩니다.

 

https://nous-temperature.tistory.com/644

2022 수능 생명과학2 오류 논란을 보면서

 

가장 아름답다고 하는 오일러 공식이 제시되기도 하죠.

 

https://nous-temperature.tistory.com/667

자연상수 e, 무리수 e 계산 해 보기

 

파이송도 있습니다.

원주율인 파이 값 3.1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510... 의 소수점을 피아노 건반의 악보로 만들어 만들어낸 음악이 이렇게 아름다울 수 있다는 것도 알게 되죠.

 

위 사진처럼 원주율을 1은 도, 2는 레, 3은 미, 4는 파, 5는 솔, .... 0은 미로 해서 악보를 만들면 바로 파이송이 나오겠네요. 파이는 규칙적이지 않은 숫자가 무한히 나오는 무리수인데, 이를 악보를 만들 생각을 했고, 그 음악이 그렇게 아름다울 수 있다는 것에 놀랐습니다.

 

만약에 이 파이송을 소수의 숫자로 이용해서 만들거나, 가장 자연적인 수열이라고 하는 피보나치수열로 악보를 위와 같이 배열해서 음악을 만들면 어떻게 나올지 궁금해집니다. 프로그램을 이용해서 한번 만들기를 시도해 봐야겠습니다.

 

https://nous-temperature.tistory.com/572

수열 실생활 활용 사례 - 피보나치 수열

 

다음과 같이 피보나치 수열을 이용해서 작곡한 후, 다음과 같은 아름다운 피아노 연주이 될지도 모르니까요.

 

https://youtu.be/IGJeGOw8TzQ

 

파이송 관련 장면은 모차르트가 가로 12줄, 세로 16줄로 이루어진 표를 만들고 주사위 2개를 동시에 던져서 나오는 숫자의 합으로 한 마디씩 골라 작곡한 방법이 생각났습니다. 어찌 보면, 수학과 음악이 매우 연관이 깊고, 음악의 아름다움이 바로 수학의 아름다움일 수 있다는 것을 알려주는 듯했습니다.

 

 

2008년 6월에 실시된 한국교육과정평가원 수학 모의고사 28번 문제가 있습니다.

 

위 문제가 영화에 제시되고, 선생님이 푸는 이 문제의 답에 이의를 제기합니다. 실제로 위 문제는 평가원에서 제시한 답이 4번인데,  나중에 1번도 중복 답이라고 인정을 하게 됩니다. 

 

그런데 영화를 자세히 보면, 선생님은 처음부터 5번이 답이라고 하죠. 5번은 답이 아예 될 수 없는데 말이죠. 아마도 이 사실은 영화 제작자들이 의도적으로 말한 것이라고 생각합니다. 처음부터 수학 선생님은 능력이 인성이나 지성이나 능력이 되지 않음을 숨겨서 보여주는 것이지 않을까 생각합니다.

 

"정답보다 중요한 것은 답을 찾는 과정이다"

 

이 영화에서 말하고 싶은 말을 한 문장으로 제시하고 있는 문장일 것입니다.

 

정답이 결과라고 한다면 "결과보다 중요한 것은 과정이다"라고 할 수 있을지 모릅니다.

 

리만 가설이 하나의 결과라고 한다면, 리만 가설을 찾아가는 과정이 더 중요함을 말하고 싶은 것이겠네요.

 

저는 이를 다음과 같이 바꾸어 보고 싶습니다.

 

"결과는 과거이며, 과정은 현재와 미래다. 현재와 미래는 과거의 거울이므로 셋 모두가 중요할 것이다"