점화식 p+q+r=0 형 일반항 구하기

수학적 귀납법과 관련된 p+q+r=0인 형태의 점화식 일반항을 구해 보도록 하겠습니다.

 

이전 포스팅에서 언급한 첫 번째 문제입니다.

 

https://nous-temperature.tistory.com/674

수열의 귀납적 정의, 동차 선형 점화식 일반항 구하기

 

 

이 문제를 해결하기 위해서는 계차수열의 일반항 구하는 방법을 이해해야 합니다. 이 문제를 설명하기 위해서 이전에 쓴 다음 글을 읽어 보시기 바랍니다.

 

https://nous-temperature.tistory.com/672

계차수열이란? 계차수열 일반항 공식 구하기

 

p+q+r=0인 형태는 계차수열 형식으로 주어진 식을 바꾸어 주어야 하는데, 비교적 쉽게 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

 

위 점화식은 p=1, q=-4, r=3인데, 뒤에 있는 4 a n+1을 아래와 같이 분리할 수 있기 때문입니다. 

 

*참고: 관계식 만드는 방법 (계차수열 형식으로 만들어 주는 것이 핵심!)

 

위와 같이 쓰고 보니, 3이라는 숫자가 공통으로 보이네요. 이 3으로 묶어서 정리해 주면 다음과 같습니다.

 

여기까지 쓰고 보니 더 명확히 보이는 것이 있습니다. 뒤에 있는 것을 우변으로 이항 시켜 보겠습니다.

 

마지막에 정리된 식이 어떻게 보이나요? 바로 계차수열의 형식과 같습니다. 이전에도 언급한 것처럼 계차수열은 현 교육과정에 포함되지 않기에 이러한 문제 형식이 수학 문제로 나올 수 없다고 말하는 이유이기도 합니다. 계차수열 관련 글에서 계차수열의 일반항에 적용시켜 보면, 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

 

주어진 a n의 일반식은 다음과 같이 쓸 수 있겠네요.

 

이상으로 p+q+r=0인 꼴의 수열의 점화식 일반항 구하는 방법을 알아보았습니다.