파포스 (파푸스)의 중선 정리를 증명해 보자

기억이 가물가물 거립니다.

 

1980년대 중, 후반 학창 시절에 배웠던 것 같은데, 지금은 공식적으로 파포스의 중선 정리가 교육과정에 포함되지 않았나 봅니다. 공식의 결과만 기억하고 있었던지라, 언제 배웠는지 자료를 찾아보아도 알 수가 없기에 기억이 정확한지는 모르겠습니다. 아무튼, 저는 중학교 3학년 때쯤 배웠던 것 같은데, 지금은 이 공식이 구체적으로 교육과정에 언급되지 않았기에 경우에 따라서는 현재 수학 교육과정을 벗어난 것이라고 여길지도 모르겠습니다. 하지만, 고등학교  때까지의 여러 가지 수학적 기본 개념을 확장시키면 나올 수 있는 공식의 하나이기에 가끔 학교에서 시험에 나오나 봅니다. 그래서 파포스의 중선 정리를 증명하는 글을 써 보고자 합니다. 

 

파포스의 중선 정리는 삼각형의 한 각에서 마주 보는 변의 중선을 그었을 때 이 중선과 삼각형의 각각의 변 사의의 관계를 설명하는 정리로 보통 아폴로니오스의 정리라고 합니다. 이 중선의 정리 식은 다음과 같습니다.

 

 

위의 삼각형에서 중점 M의 좌표를 x, y 좌표 평면상의 원점이라고 한다면, A는 (a, b), B는 (-c, 0), C는 (c, 0)로 둘 수 있습니다. 아래 그래프처럼요.

 

위의 그래프에서 점 A에서 선분 BC, 즉 x축과 수직인 직선을 만들면 아래와 같은 빨간색 삼각형을 만들 수 있습니다.

 

위 그래프에서 빨간색 삼각형이 직각 삼각형이므로 높이는 b, 밑변의 길이는 a+c가 되므로 피타고라스 정리에 의해서 빗변의 제곱(= 선분 AB의 제곱)은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

 

마찬가지로 아래의 파란색 직각삼각형을 만든다면, 높이는 b, 밑변의 길이는 c-a이므로 피타고라스 정리에 의해서 파란색 삼각형의 빗변의 제곱(= 선분 AC의 제곱)은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

 

선분 AB의 제곱과 선분 AC의 제곱을 더하면 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

 

아래의 그림처럼 녹색 직각 삼각형을 만들면, 높이는 b이고, 밑변은 a이므로 녹색 직각삼각형의 빗변의 제곱(= 선분 AM의 제곱)은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

 

마지막으로 선분 BM의 길이는 c이므로 선분 BM의 제곱은 c의 제곱이 됩니다.

 

선분 AM의 제곱과 선분 BM의 제곱을 합하면 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

 

앞에서 선분 AB의 제곱과 선분 AC의 제곱의 합이 다음과 같으므로 위의 식을 대입해서 정리하면 다음과 같습니다.

 

따라서, 파포스의 중선 정리는 다음과 같은 식이 성립한다는 것을 알 수 있습니다.

 

이상으로 중3 수준에서 파포스 중선 정리를 알아보았습니다. 이 정리 식은 고등학교 수준에서 삼각함수의 코사인 제2 법칙을 사용해서 증명할 수도 있습니다. 글이 계속 이어질 수 있습니다.