근의 공식 유도, 그리고 이차방정식 판별식

이차방정식의 근은 보통 완전 제곱식을 이용해서 유도할 수 있습니다.

 

 

1. 양변을 x제곱의 계수로 나눕니다.

 

2. 상수항을 우변으로 이항 합니다.

 

3. x의 계수인 1/3을 2로 나눈 값인 1/6을 제곱하여 양변을 더합니다. 즉, 좌변을 완전 제곱식으로 바꿔주기 위해 x의 계수에서 1/2을 곱한 수인 1/6의 제곱을 더해 주고, 등식이 성립하기 위해서 동일한 수를 우변에도 더해 주는 것입니다.

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4. 3번까지 진행하면, 좌변은 완전 제곱 식이 됩니다. 좌변과 우변을 정리하면 다음과 같습니다.

 

5.  이제 좌변 전체의 제곱근을 구합니다.

 

6. 좌변에 있는 -1/6을 우변으로 이항 시켜 줍니다.

 

7. 분모를 통분해서 계산을 마무리합니다.

 

위의 동일한 방법으로 일반적인 이차방정식의 근의 공식도 도출할 수 있습니다. 위에서는 숫자이지만, 대신에 a, b, c의 문자를 사용한 것 차이뿐입니다. 완전 제곱 식이 나오도록 식을 바꾸면 되겠습니다.

 

 

1. 양변을 a로 나눕니다.

 

2. 상수항인 c/a를 우변으로 이항 시킵니다.

 

3. 좌변의 x의 계수에 1/2을 곱한 후, 제곱한 수를 양변에 더해 줍니다.

 

4. 좌변을 완전 제곱식으로 바꾸고, 우변을 통분해서 정리해 줍니다.

 

5. 제곱근을 구합니다.

 

6. 좌변에 있는 상수항 b/2a를 우변으로 이항 시키고 계산해 줍니다.

 

7. 이제 이차방정식의 근의 공식은 다음과 같이 유도되어 도출되었습니다.

 

위 이차방정식의 근의 공식에서 루트 안에 있는 수식은 다음과 같습니다.

 

위 식의 값이 0이면 이차방정식은 근이 같은 중근을 가지며, 루트 안의 값이 0 보다 크며, 서로 다른 두 실근을 가집니다. 여기까지가 중학교 때 배운 것 같고, 고등학생이 되면, 이 값이 0보다 작으면 서로 다른 두 허근을 가진다고 배운 듯합니다. 이 식으로도 많은 것을 말해 줄 수 있지만, 글이 길어져서 다음 기회로 미루고자 합니다.

 

사실 근의 공식을 유도하는 식과 함께 근의 공식과 관련된 역사적 사실을 같이 쓰려고 했는데, 이것도 여의치가 않네요. 다음에 뵙겠습니다.