바이오리듬과 삼각함수 주기 구하기

바이오리듬은 철 지난 것인지 모릅니다.

 

심리 검사의 하나인 지금의 MBTI가 인기 있는 것처럼, 한때, 바이오리듬도 이와 못지않게 많은 관심과 언급이 있었으며, 일상생활의 일부분의 하나로 언급되기도 하였습니다.

 

이전의 글에서 잠깐 언급한 것처럼, 바이오리듬은 감성지수, 신체지수, 지성지수를 각각 28일, 23일, 33일을 주기로 삼각함수의 sin 그래프를 그려서 만들어진 지수의 그래프입니다.

 

주기가 28일인 감성지수를 사인(sin) 그래프로 그리면 다음과 같은 모양이 됩니다. (단, 높이는 계산하지 않았습니다.)

 

주기가 23일인 신체지수로 사인 곡선을 만들면 다음과 같습니다.

 

주기기 33일인 지성지수를 사인 곡선으로 그리면 다음과 같습니다.

 

이 세 그래프를 하나로 묶으면 다음과 같습니다. 붉은 선은 감성지수, 푸른 선은 신체지수, 녹색 선은 지성지수입니다.

 

만약에 세 그래프 모양이 모두 0에서 위의 모양처럼 다시 시작하려면, 23, 28, 33의 최소공배수인 21,252일, 1년이 365일이므로 이것으로 나누면, 약 58.22년이 되어야만 되겠습니다. 이처럼 각각의 그래프는 0부터 시작해서 23, 28, 33 간격으로 그 모양이 반복되는데, 어떤 함수가 어떤 간격에서 계속 반복되면, 그 함수를 주기 함수라고 하며, 반복되는 주기 중에서 최소인 양수를 그 함수의 주기라고 합니다. 수학적으로 보통 주기 함수와 그 함수의 주기는 다음과 같이 정의됩니다.

 

위에서 정리한 주기의 정의는 많은 응용문제를 만들 수 있지만, 이것에 관한 설명을 생략하고, 삼각함수 중에서 사인과 코사인 그래프의 주기성과 주기에 관해서 살펴보겠습니다.

 

y=sinx (빨간색 그래프), y=cosx (파란색 그래프)는 다음과 같습니다. 

위 그래프를 자세히 보면 sinx, cosx 값의 최댓값은 1이고, 최솟값은 -1이 됩니다. 또 각각의 그래프는 2파이 간격으로 반복이 되기 때문에 두 함수는 주기 함수가 되며, 주기는 2파이가 됩니다.

 

위 그래프에서 한 가지 간과하고 넘어가는 것이 x축에서 1의 위치입니다. 3분의 파이는 1보다 약간 크기 때문에 x=1의 대략적 위치는 빨간색 점이라는 것을 알아두면 좋겠습니다.

 

위 그래프를 평행 이동시키고, 진폭의 크기를 다르게 할 수 있습니다.

 

y=sin2x는 아래 그래프가 되는데, y=sinx 그래프와 비교하면 최댓값, 최솟값은 그대로이고, 주기가 2파이에서 파이로 되었음을 알 수 있습니다.

 

y=2sinx는 아래 그래프가 되는데, y=sinx 그래프와 비교해서 주기는 2파이로 그대로이고, 최댓값  2, 최솟값 -2로 되었음을 알 수 있습니다.

 

y=sinx+1는 y=sinx를 y축으로 1만큼 평행 이동시킨 것이며, 최댓값은 2, 최솟값은 0이고, 주기는 2파이로 y=sinx와 같음을 알 수 있습니다.

 

y=sin(x-1)는  y=sinx를 x축으로 1만큼 평행 이동시킨 것이며, x가 0에서 y값의 차이가 있을 뿐, 최댓값은 1, 최솟값은 -1이고, 주기도 2파이로 y=sinx와 같음을 알 수 있습니다.

 

y=2sin2(x-1)+1는 y=sinx와 비교해 보면, 최댓값과 최솟값이 2배로 커졌으며, x축으로 1, y축으로 1만큼 평행 이동시켰으므로 주기가 파이로 되었음을 알 수 있습니다.

 

위 그래프를 일반적으로 다시 한번 정리해 보면, sin, cos, tan 함수의 최댓값, 최솟값, 주기는 보통 다음과 같이 구할 수 있습니다.

 

이상으로 바이오리듬과 삼각함수 주기를 구하는 글을 마칩니다.