좌표 평면에서 두 점 사이의 거리 공식은 어떻게 구할까?

좌표 평면에서 두 점 사이의 거리를 구하는 공식은 비교적 쉽게 구할 수 있을 수 있습니다. 2015 교육 과정에서는 고등학교 1학년 과정으로 제시되어 있네요. 다음 그림을 한 번 보실까요?

 

 

좌표 평면에서 두 점 사이를 구하는 글인데, 위의 그림에서 보이는 달팽이 나선 같은 이 그림과 어떤 연관성이 있느냐고 궁금해할지 모르지만, 고등학교 교육 과정에 제시된 비교적 간단한 좌평 평면에서 두 점 사이의 거리가 위의 나선형 그림을 이해하는 기초가 될 수 있습니다. 참고로 위의 그림은 "아르키메데스의 나선"이라고 알려진 것입니다.

 

그 이유는 이 글을 쓴 후, 다음 기회에 설명해 보도록 하고, 이번에는 두 점 사이의 거리를 구하는 공식을 고등학교 1학년 수준에서 구하는 방법에 관해서 알아보겠습니다.

 

고등학교 수학에서 "거리"는 점과 점, 점과 직선, 또는 직선과 직선 사이의 가장 짧은 길이를 의미합니다. 따라서 수학에서 거리는 양수의 개념을 가지고 있으며, 음수가 될 수 없습니다. 따라서 어떤 점의 좌표 등이 음수가 된다면 "거리"는 절댓값의 의미도 가지고 있고, 최소 길이이므로 "직각"의 개념을 내포하고 있다고 할 수 있습니다.

 

좌표 평면에서 두 점 P와 Q 사이의 거리는 어떻게 구할 수 있을까요?

 

아래와 같은 좌표 평면상에 두 점 P와 Q가 있을 때, 두 점 사이의 거리는 두 점 사이의 "가장 짧은 길이"를 의미합니다.

 

점 P와 점 Q에서 각각 x축과 y축 평행하게 그은 후, 두 직선이 만나는 교점을 C라고 한다면 그래프는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

 

위 그래프에서 선분 PC의 길이와 선분 QC의 길이는 다음과 같이 임의의 점이므로 절댓값으로 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

 

이때, x1의 값과 x2의 값, y1의 값과 y2의 값이 같지 않으면, 삼각형 PQC는 직각삼각형이 되므로 피타고라스 정리에 의해서 삼각형 빗변의 제곱은 나머지 두 변의 제곱의 합과 같기 때문에 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

 

따라서 점 P와 점 Q의 거리는 다음과 같이 정리할 수 있습니다.

여기까지 쓰고 보니, x2=x1, y2=y1이 되어도 위 식은 성립하므로 두 점 사이의 거리는 최종적으로 위와 같다고 보시면 되겠니다.

 

만약에 원점(0, 0)과 점 Q(x1, y1) 사이의 거리를 위와 같은 방식대로 계산하면 다음과 정리할 수 있겠네요.

 

두 점 사이의 거리 공식을 왜 배우는 가에 관한 하나의 답이 될지도 모를 아르키메데스의 나선과 관련된 글이 나중에 계속 이어질 수 있습니다. 오늘 글을 마칩니다.