부채꼴 넓이 공식 에 대해 알아보자

고등학교  수학I 과목에 삼각함수 단원이 있습니다.

 

이 단원에서 삼각함수의 다양한 개념을 알기 전에 호도법에 대해서 나옵니다. 중학교 때 배운 각의 30도, 45도, 60도의 개념을 확장하여 90도 이상의 sin, cos, tan를 알기 위해서 호도법의 정의가 나오는 것이지요. 즉, 각의 크기를 "도"가 아닌 새로운 단위인 "라디안(radian)"이 나오는데, 1 라디안은 원주율인 𝝅(파이)를 180°로 나눈 것으로 나타냅니다. 이렇게 각의 크기를 라디안으로 나타낸 것을 호도법이라고 합니다. 이를 통해서 1°는 𝝅/180 라디안이 된다는 것을 알 수 있으며, 보통 라디안은 생략합니다.

 

이제 초등학교 6학년 때 배운 원의 넓이 구하는 공식을 가져와 보겠습니다.

초등학교 수준에서 원의 넓이는 반지름의 제곱 곱하기 3.14인데, 여기에서 3.14는 "원주율"이라고 합니다. "원주율"이란 원둘레(다른 말로 "원주")와 원의 지름의 비를 말하는데, 원의 지름에 상관없이 그 비가 3.14....로  모든 원은 일정하고 그 수는 끝이 없는 무리수이므로 이 원주를 𝝅(파이)라고 정했습니다. 원의 넓이를 S, 반지름을 r이라고 하면 초등학교 때 배운 원의 공식은 다음과 쓸 수 있습니다. 즉, "S = 파이 r의 제곱"으로요.

 

장황하게  호도법과 철 지난 듯한 원의 넓이를 위에서 언급한 이유는 바로 부채꼴의 넓이를 라디안을 써서 나타내기 위함입니다. 아래 그림을 한 번 보세요.

 

위 그림에서 반지름이 𝒓, 중심각의 크기가 𝜽(라디안), 호의 길이가 𝒍인 부채꼴에서 호의 길이인 𝒍은 중심각의 크기에 정비례합니다. 이를 비례식으로 나타내면 다음과 같이 쓸 수 있습니다. 참고로 𝜽가 라디안이므로 360°를 라디안으로 바꾸면 2𝝅, 전체 원의 둘레는 2𝝅𝒓 (2𝒓=원의 지름)이 됩니다.

 

 

이 식을 정리하면 다음과 같습니다.

 

위에서 정리된 식을 𝒓로 정리하면 다음과 같습니다.

 

부채꼴의 넓이는 전체 원의 넓이에서 2𝝅(=360도) 분의 𝜽가 되므로 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

 

부채꼴의 넓이를 S라 하면, 전체 원의 넓이는 "파이 𝒓의 제곱" 이므로 위 식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

 

위에서 정리한 식을 부채꼴의 호의 길이인 𝒍이 나오도록 정리하면 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

 

따라서 지금까지 알아본 부채꼴의 넓이는 다음과 같이 정리할 수 있습니다.

 

오늘 글을 마칩니다.