삼각형 개수 찾기 #347

지인이 다음과 같은 삼각형을 가져와서 개수가 모두 몇 개인지 찾아보라고 합니다

 

이러한 문제는 흔히 지능, 인식 지수와 상관이 없다는 것이 개인적인 생각입니다. 

약간의 집중력의 차이만 있을 뿐이죠. 

처음보다 집중력을 더 가지고 삼각형의 개수를 찾는다면 누구나 18개 이상은 가능할 것입니다. 

그 이하를 찾는다고 해도 걱정할 필요가 없을 것 같습니다. 그저 우리는 어떤 사물을 어디에 중점을 두고, 바라보느냐에 차이가 있을 뿐 그게 중요한 것은 아니라고 믿기 때문입니다.

18개 이상을 찾으면 어떤 지수가 몇 퍼센트 이내에 든다고 하는 많은 언급을 보면서, 20개 이상 찾은 사람에게 다음과 같은 질문을 하면 어떻게 답할 수 있을까요?

인터넷 정보에 의하면 27개, 28개, 심지어는 30개를 찾았다고 하는데, 그들의 말은 사실일까요? 그것이 진실인지 아닌지 증명할 수 있나요?

삼각형은 세 개의 점과 세 개의 선분으로 이루어진 다각형을 말합니다. 우리가 “삼각형”의 개념을 위와 같이 약속한 것이죠.

따라서 우리가 약속한 "삼각형"의 개념을 이용해서 삼각형의 개수를 정확하게 계산할 수 있다면, 개수가 24개보다 높게 나오지 않는다는 것을 증명할 수 있을지도 모릅니다. 단순하게 하나씩, 하나씩 그림을 그려가면서 구하지 않더라도 말이죠.

그렇게 하면, 심상치 않게 논란이 되는 삼각형의 개수를 정확하게 말할 수 있을 것입니다. 단순하게 삼각형이 나오는 모든 경우의 수를 그림으로 그려서 설명하는 것보다요.

그런데, 아무리 찾아보아도 수학적으로 이를 설명하는 것은 찾기가 쉽지 않습니다.

"얼핏 보면 필연적으로 놓치는 결과"라는 글의 제목을 쓰고 보니, 오늘의 수능 영어 어휘 3개가 떠올라 언급해 봅니다.

glance: 흘끗 보다; 흘끗 보기
glimpse: 흘끗 보기: 흘끗 보다
inevitable: 피할 수 없는, 필연적인

*glance: 중고등학교 기본 어휘
*glimpse, inevitable: 고등학교 진로 선택 및 전문교과 I 권장 어휘

 

■ 삼각형 개수 구하는 많은 방식 중의 하나

 

1. 아래 삼각형의 개수를 먼저 구합니다.

 

 

위 녹색 삼각형에서 삼각형의 개수를 구해 봅니다. 삼각형은 세 점과 세 직선으로 이루어진 도형을 말하므로, 맨 위의 점을 먼저 선택하고, 밑에 있는 4점에서 2개를 선택하면 위 삼각형의 개수를 알 수 있습니다. 몇 개 안 되므로 직접 세어도 6개는 구할 수 있겠습니다.

 

즉, 1x4C2 = (4x3) / 2 = 6가지 

(여기서 C는 수학 기호 컴비네이션입니다. 아래 첨자가 이 블로그에서 써지질 않아서 위와 같이 썼습니다.)

 

이런 삼각형(= 큰 삼각형이 3개로 나누어진 것)이 아래처럼 2개 더 있습니다.

 

 

따라서 녹색 삼각형에서 구할 수 있는 삼각형의 모든 개수는 6x3=18가지가 되겠습니다.

 

2. 아래와 같은 노란색 모양의 삼각형 개수를 구합니다.

 

 

위의 삼각형 개수는 직접 세는 것이 빠를 수 있습니다. 오른쪽 끝에 있는 점을 먼저 선택하고, 밑에 있는 3개의 밑변에서 하나를 선택하면 삼각형이 되겠네요. 그냥 직접 개수를 세도 어렵지가 않을 듯합니다.

 

1 x 3C1 = 3가지

 

위의 노란색으로 표시된 삼각형의 개수는 3개가 되겠습니다. 이러한 삼각형이 맨 아래 한 개 더 있습니다.

 

 

따라서 노란색으로 색칠해진 삼각형의 개수는 3 + 3 = 6가지가 되겠네요.

 

3. 이제 다 구했습니다.

 

녹색으로 칠해진 삼각형은 모두 18개, 노란색으로 칠해진 삼각형은 6개이므로 총 삼각형의 개수는 24개가 되겠습니다.

 

youtu.be/BwSbR900uOM

 

**** 덧붙이는 말: 아주 복잡하게 계산하는 방법도 유용하게 사용할 수가 있습니다. 맨 처음에 제시한 문제에는 총 11개의 점이 있으므로 이 중에서 점 3개를 선택한 후, 일직선에 점 3개가 있는 경우, 점 4개가 있는 경우는 점 3개를 선택해도 삼각형이 되지 않으므로 이를 주의히면 되고, 또한 점 3개를 선택했다고 해서 삼각형이 되지 않은 경우를 제외해야 하는 경우 수를 모두 빼 주어야 합니다. 계산이 복잡해서 생략합니다. 이럴 때, 코딩을 배웠으면 조금 쉽게 풀 수 있지 않을까 생각해 봅니다.