삼차함수 비율 관계를 증명해 보자

3차함수는 변곡점, 극댓점, 극솟점 등에서 일정한 비율 관계를 유지합니다.

 

이번 글에서는 많은 수험생이 알고 있는 삼차함수 비율 관계가 어떻게 해서 나오는지에 관해서 알아보고자 합니다.

 

삼차 함수 비율 관계를 살펴보기 위해서는 먼저 삼차함수가 변곡점에서 대칭인 이유를 아는 것이 도움이 될 수 있습니다. 이것을 증명한 글이 있으니 다음 내용을 미리 살펴보시기 바랍니다.

 

https://nous-temperature.tistory.com/642

삼차함수 변곡점 대칭 증명

 

위 글에서 삼차함수는 변곡점에서 대칭이다는 것을 알아보았습니다. 함수 그래프가 어떤 점에서 대칭이라는 것은 그 점에서 그래프를 잘라서 돌리면 딱 포개진다는 말입니다.

 

 

위의 그래프에서 파란색 점이 삼차함수의 변곡점이라고 한다면, 이 변곡점에서 그래프가 대칭이므로 다음과 같은 사실을 알 수 있습니다.

 

 

위 그래프는 극댓값, 극솟값에서 접하는 직선을 만들고, 변곡점에서 그 직선과 평행한 선을 그은 것이며, 각각의 점에서 y축과 평행한 선을 그은 것입니다.

 

변곡점 p에서 대칭이고, 삼차함수 곡선의 길이가 일치하기 때문에, 위 그래프에서 선분 a, b와 선분 b, c 길이는 일치합니다. 또한, 선분 a, d와 선분 d, f도 그 길이가 같습니다. 변곡점에서 극댓값까지의 높이와 극솟값의 높이, 변곡점에서 극댓값과 극솟값까지 거리가 일치합니다.

 

이제, 이 함수의 변곡점이 원점인 위치가 되도록 평행이동 시켜 보겠습니다.

 

 

위 그래프에서 원점에서 극솟값까지의 거리를 알파(= 극솟값의 x좌표가 알파)라고 한다면, 극댓값이 x좌표는 마이너스 알파가 됩니다. 왜냐하면 위에셔 언급한 것처럼 변곡점에서 극댓값과 극솟값까지의 거리가 같기 때문입니다.

 

극댓값에서 접선을 긋고, 그 직선이 삼차함수와 만나는 x좌표를 베타라고 하고, y좌표를 p라고 한다면, 극솟값의 y좌표는 -p가 되며, 다음과 같은 모습이 됩니다. 

 

위 그래프를 자세히 보면, x가 마이너스 알파일 때와 x가 베타일 때, y값이 p로 일치합니다. 따라서 삼차함수를 f(x)라고 한다면, f(-α) = f(β) = p가 된다고 할 수 있습니다. 이 그래프를 다시 한번 이동시켜 보겠습니다. y=p가 y=0이 되도록 y축으로만 이동시키면 그래프는 다음과 같습니다.

 

 

위와 같이 y축으로만 이동시켰기에 x의 값은 변화가 없습니다. 그래프가 위와 같다면 삼차함수는 x는 마이너스 알파에서 중근을 갖고, 베타에서 다른 한 근을 갖는 함수이므로 f(x)는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

 

이 함수를 한번 미분해 보도록 하겠습니다.

 

 

삼차함수를 한번 미분해서 0이라고 두면 구할 수 있는 것이 바로 극댓값과 극솟값의 x좌표입니다. 따라서 한번 미분한 값 f'(x)=0을 풀면 다음과 같습니다.

 

위에서 제시한 그래프에서 이를 적용하면 다음과 같습니다.

 

 

즉, 극솟값의 x좌표 2개가 같으므로 다음과 같은 계산식이 성립합니다.

 

 

즉, 베타는 알파의 2배가 되었습니다. 따라서, 지금까지 계산한 것을 정리하면 다음과 같습니다.

 

 

이제 다 끝났습니다. 이 그래프는 많은 사실을 알려줍니다. 아래와 같이 말이죠.

 

 

 

또한, 이것은 많은 사실을 유추할 수 있습니다. 그 다양한 해석은 직접 해 보는 것으로 하고, 이번 글은 여기서 마칩니다.