sin15 도, cos15 도, tan15 도 값 알아보기

정삼각형. 직각삼각형을 이용하여 sin, cos, tan의 30도, 45도, 60도의 값을 구하는 방법은 일반적으로 중학생 3학년 이상이라면 어렵지 않게 구할 수 있을 것입니다. 그런데 15도나 75도는 일반적으로 어려워할 수 있습니다. 이번 시간에서는 15도와 관련된 sin, cos, tan 값을 설명해 보고자 합니다. 유튜브 영상은 덤입니다.

 

https://youtu.be/p79C5OOxRCk

 

먼저, 한 변의 길이가 2인 정삼각형을 그립니다.

 

 

위의 그림처럼 세 변의 길이가 2인 정삼각형이면 세 각의 크기는 60도가 됩니다. 각 A에서 선분 BC로 직선을 그어서 정삼각형을 반으로 나누면 다음과 같은 모습이 됩니다.

 

이등분한 정삼각형은 위의 그림처럼 두 개의 직삼각형으로 나누어지고, 각각의 직삼각형의 밑변의 길이는 1이 됩니다. 또한, 각 A도 이등분이 되기 때문에 30도로 각각 나눌 수 있습니다. 이때 삼각형의 높이는 피타고라스 정리를 이용하면 루트 3이 되고 그림으로 나타내면 다음과 같습니다.

 

이등분한 삼각형을 하나를 떼어내고, 각도가 30도인 부분을 왼쪽에 오도록 회전시키면 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

 

 

위 삼각형 빗변의 길이 2만큼 선분 AD의 연장선을 긋습니다. 그리고 끝나는 부분을 H라고 정합니다.

 

 

위의 그림에서 B와 H를 연결합니다. 그러면 아래와 같은 그림이 됩니다.

 

 

위 그림에서 새로운 삼각형 BHD를 살펴보면, 이 삼각형은 직각삼각형이 되고, 밑변의 길이가 2+루트 3, 높이가 1이 됩니다. 삼각형 BHA는 이등변 삼각형의 되고, 각 BHA, 각 HBA는 각 BAD의 1/2이 되어야 하므로 각각 15도가 됩니다. 이것을 정리하면 아래와 같은 모습이 됩니다.

 

 

이제 직각삼각형 BHD에서 빗변의 길이를 구하면 되겠습니다. 밑변이 2 플러스 루트 3이고 높이가 1이므로 피타고라스 정리에 의하면 다음과 같이 식을 쓸 수 있습니다.

 

 

위 식을 더 계산하면 다음과 같습니다.

 

 

빗변의 제곱을 풀면, 8 플러스 2 루트 12는 이중 근호가 나오면서 다음과 같은 선분 BH 값이 됩니다.

 

 

빗변의 길이가 루트 6 플러스 루트 2이므로 삼각형에 이 값을 넣으면 다음과 같은 그림이 됩니다.

 

 

sin15도의 값은 직삼각형 빗변 분의 높이가 되므로 다음과 같이 정리할 수 있습니다.

 

 

cos15도의 값은 빗변 분의 밑변이 되므로 다음과 같이 계산할 수 있겠습니다.

 

 

마지막으로 tan15도 값은 다음과 같이 구할 수 있겠습니다.

 

 

이상으로 정삼각형을 이용하여 sin15 º, cos15 º, tan15 º 값을 계산해 보았습니다. 삼각함수 덧셈, 뺄셈 공식을 알고 있다면 이것을 이용하면 더 간단하게 계산할 수 있을지도 모릅니다. 

 

https://nous-temperature.tistory.com/573

삼각함수 덧셈정리 증명

 

둘 중 아무것을 이용하면 sin75도, cos75도, tan75도 등의 값을 구할 수 있으며, 아울러 정사각형을 이러한 방식으로 이용하면 sin22.5도, cos22.5도, tan22.5도 등도 구할 수 있겠습니다. 

 

그림과 수식 입력이 익숙하지 않아, 다른 각도의 삼각비 구하는 법은 다음 기회에 해 보도록 하겠습니다. 오늘 글을 마칩니다.